這次談一道關於三個自然數積的問題。從基礎知識來說,高小的水平就已足夠做到,但放在中學水平的競賽上,也不失為一道入門的題目。

問題:試找出最小的自然數n,使得119n成為三個連續自然數的積。

答案:分解119,得7 × 17。三個數的積要有7和17作為因數,於是觀察17前後,有15、16、18和19,發現都沒有7的倍數。

再看17的倍數,先看34 = 17 × 2,附近有32、33、35和36,其中35 = 7 × 5是7的倍數。由於積要盡量小,於是那三個連續自然數,就是33、34和35,乘起來時,撇除了當中7和17兩個因數,得知n = 33 × 2 × 5 = 330。

解題中的想法,主要是想起三個數的積,分解後要包含119的因數,於是由119最大的質因數17開始看,留意附近的數,會否包含另外的質因數7。之後再依次由17的倍數逐一檢查,就找到了相關的數。

雖然說方法是這樣,但做起來時,學生也未必可以了解到把119分解,會是解題的關鍵;又或者學生把數字分解之後,方法也未必有系統地由較大的質因數開始試。始終課內很少見到這種題目,初次見到時,也會被陌生感左右了思考。

在解題過程中,這題看來相對簡單,當中的原因主要是119只有7和17兩個質因數,而且找倍數時,很快就找到在附近的。若果質因數多一兩個,那數字就會大一些,找那些最大質因數倍數附近的數時,要檢查的因數也多些。

要是把數字改一改,試着去推想較普遍的情況,比如那兩個質因數是17和23,就會發現,最後還是要解決如何找到17的倍數和23的倍數何時很接近的問題,數學化一點來說,就是找到盡量小的自然數p和q,使得|17p - 23q|≤2。由於不等式左方是整數,數值也只能是0、1或2,然後解一下不定方程,也就知道。這裏把17和23改成了普遍的a和b,就是普遍情況了。

這裏談起數學化的表達方式,真個動筆計算一下,會發現其實快不了多少,不過解題來說,要是有個較數學化的表達方法,是可以配合計算軟件,去解決一些常見的問題,比如上面的二元一次不定方程,或者不等式的問題。這樣即使數字變大,還是容易找到答案。

奧數遇上的問題,有時可以用些簡單方法解決,但也不是說有個簡單方法就是最好的。較好的想法,是去就着一些陌生的情景,推廣一下,看看較普遍的情況,了解一下數字改了之後,那個計算的量會大了多少,有沒有簡潔的做法,或者怎樣配合計算軟件解決之類。

在奧數裏,找尋一些面對普遍數學命題的線索,在特殊的問題中,嘗試問起普遍的情況,從中窺探廣大的數學世界,才是學習的方向。只想停留在一些特殊的技巧上,解決一些特殊設計的題目,得着就少了。

◆ 張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。