【奧數揭秘】整除的問題

由小學開始，就會談到整除的問題，比如28458能否被9整除。有些判斷整除性的方法，就是各個數字相加，2 + 8 + 4 + 5 + 8 = 27，結果是9的倍數，那麼原數就是9的倍數，可記為9 | 28458。以下是一道關於整除的問題，條件看來挺多的，讀者也可以仔細思考一下。

問 題：求大於2的最小正整數n，使得2 | n，3 | n + 1，4 | n + 2，…，10 | n + 8。

答 案：留意到由3開始，n加上的數字只要加上2，就剛好和整除它的數字一樣，比如n + 8，8 + 2 = 10，而10 | n + 8。那麼設n = m + 2，則有2 | m + 2，即2 | m，又有3 | m + 3，即3 | m，如此類推，直至10 | m + 10，即10 | m。

故此m是2，3，4，…，10的公倍數，那樣先求2，3，4，…，10的最小公倍數，就得2520。而n最小的情況，就是m為這個最小公倍數的情況，因此得n為2522。

上邊解題中的關鍵，都是要注意到被整除的數加上2之後，情況會大幅化簡。之後把n換成了m + 2，也順道用上了這個特性，從而發現m最小的時候，是2，3，4，…之類的最小公倍數，然後就找到了最小的n。

也簡單提一提找最小公倍數的步驟，那些數由2至10，看來有9個數，但分解後質因數只有2、3、5和7，最大的次方分別為3、2、1和1，這些都容易看到的，於是最小公倍數就是23 × 32 × 5 × 7 = 2520。

看到這題解得那麼快，就要想一想，要是數字沒那麼好，加2之後沒什麼類似的情況，那又怎樣呢？那樣就麻煩了，會變出一大組同餘問題來。舉個簡單例子，求最小的正整數n使得6 | n + 1，5 | n + 2及4 | n + 3，那樣n就要除6餘5、除5餘3、除4餘1。

先找6和4的最小公倍數12，n除以6餘5，則除以12時，餘數可以是5或11，而只有餘5的情況，符合除4餘1。再考慮n如何可以除12餘5、除5餘3，那可以由12 + 5 = 17開始，看看結果能否除5餘3，然後再每次加12，依次為29、41、53，試到53就知道是答案了。

這個做法還只是個易懂的解法，比較有系統的解法，就要用到中國剩餘定理了。

這裏可以看出，題目本身是一些把n除以一些數，各自有些餘數之類的問題，但這次是略為變化後的一個特殊情況，所以有特殊而簡單的解法。

奧數裏的問題，有時就是在難題中找出特殊情況，令到解起來時有捷徑可用，從而增加趣味。比如有時解三元一次方程之類，系數之間就不時有特殊關係，可以有更快的方法，而不是按着平常的思路去解。

做題目時，找捷徑是一種趣味，問背後有什麼大問題是另一種趣味。當然，能看到較大的問題，懂一些有系統的解決方法，長遠來說能力會變強一點。

不過，好的工具，未必是有趣的，說到底還是令人有興致，才可以做得長久，能力才會強起來。● 張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。