這次談談一個圖形旋轉的問題。
問題:如圖一,在△ABC中,∠CAB = 65o,將△ABC在平面內繞點A旋轉到△AB'C'的位置,使CC'//AB,並延長BC交B'C'於D,求∠BDB'。
答案:留意到BC與旋轉後的B'C'的夾角,即∠BDB',就是AC與旋轉後的A'C'的夾角,即∠CAC'。由錯角得知∠C'CA = 65o ,由於AC = AC',得∠CAC' = 180o - 65o × 2 = 50o。
題解中較難看得到的,是整個△ABC旋轉起來時,每條邊轉起來的角度都一樣。易見的是AB會轉到A'B',AC會轉到A'C',旋轉前後兩條線的夾角會一樣;比較難看到的是,線段都不通過A點的BC,旋轉後與B'C',相關的夾角也一樣。
平常在課內談旋轉,一般都是說旋轉前後的形狀相同,在方格紙上畫出旋轉前後的樣子,形狀沒走樣,那就算學完了。至於旋轉在幾何上怎樣應用,奧數裏才有比較多練習,題目比較複雜,應用的空間亦較大。
看過一道關於旋轉的題目,也是挺有趣的。圖二△ABC中,D是AB的中點,E和F分別在AC和BC之上,之後就有△DEF面積不大於△ADE與△BDF面積之和的結果。
想法挺簡單的,就是把△ADE沿D點旋轉成△BDE',由於DE跟DE'一樣長,所以△DEF的面積就是△DE'F的面積,然後結論就挺明顯了。
從這兩道題目去看,都是看到旋轉一下,結論就出來了,只是做題目之前,其實不會知道用哪個技巧,所以彎路還是會繞幾下。或者有時遇着,剛好那個課題就是談旋轉的,做習題時遇上這些,自然會優先考慮旋轉的技巧,那樣彎就繞得少一些。這裏也看出,做習題和做普通競賽題的分別︰課後練習有優先考慮的想法,而競賽題則沒有。
競賽題多數有綜合應用知識的性質,但由於範圍有限,學生增加的知識也相對有限。若果學生想認識多些傳統的數學,還得要自己學會看數學書。不過看數學書之前,先在奧數裏看看,也是好的。
一方面奧數比較適合中小學生的程度,另一方面,在表達思想的方法上,或者邏輯的訓練上,先過了奧數這一關,在銜接更深入的數學時,普遍能力也會比較好。比如奧數裏做得較好的學生,普遍都有做嚴格證明的能力,這個對於學習更深入的數學,是良好的基礎。還有的是,在課程內讀數學的學生,普遍對一些綜合性較強的問題未有太大的承受力,處理難題時沮喪的情緒比較嚴重,若果能在奧數裏培養多一點良好的心理質素,學起數學來也會比較好。
奧數的傳統裏,有各樣好的材料,可以令學生能夠較好地銜接上較深入的數學,這是多年來許多資優生的老師累積出來的成果。現在社會的資源豐富了很多,在數學資優生發展的方向上,除了奧數外,有些是在數學建模的方向,或者是數學研究的方向,都是有價值的,但奧數裏能夠參考的部分還有很多,資源也比較豐富。●張志基
簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。
●香港數學奧林匹克學校
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