【奧數揭秘】49的倍數

這次談的問題，是關於49的倍數的問題，當中用上了階乘的符號，即是4! = 4 × 3 × 2 × 1。解題需要的基礎不多，門檻比較低，大概中一二左右就做得到。

問 題：試找出所有小於17的正整數n，使得n! + (n + 1)! + (n + 2)!是49的倍數。

答 案：原式 = n![1 + (n + 1) + (n + 1)(n + 2)] = n!(n2 + 4n + 4) = n!(n + 2)2。

留意到49是72，在17以內，7的倍數有7和14，即是若果n是14或以上的數，即是14、15和16，n!裏都有兩個7的因數，可以被49整除。

另外，由於當n + 2是7的倍數時，平方後也可以有兩個7的倍數，也可被49整除。這種情況有兩個，一是n + 2是14，或者是7，即n本身是12或5的情況。

其餘情況，易由檢算得知沒可能。

因此只有n是5、12、14、15和16，共5個情況。

解題的方向就是因式分解，然後知道49有兩個7的因數隱藏在其中，再找找算式中哪個因數可以藏着兩個7。初學階乘有時會忽略了(n + 1)! = (n + 1) × n!這些簡單的關係，未看得出可以一次過提出因子。或者是知道了n!之中，只需要有兩個7的因數就可以了，又忽略了(n + 2)2也可以隱藏着兩個7，這當中還有兩個情況，也易數漏了。

談起奧數題，有時未必有很多新知識，基礎上只要課內的數懂得通透一點，在綜合應用上做得比較好，那在競賽上也可以有不錯的表現。只是競賽已經發展了很多年，有些技巧在傳統上太多人知道，好像成了一種知識，也難免有些競賽裏會把這些技巧當成是基礎。

競賽是為了評核學生對數學知識的分析和綜合能力，還有對知識的創意應用，未必是學過才懂的東西，故意有另一套課程那樣。不過，有些知識如一些餘數和整除的問題，由於傳統的數學裏已經討論過相關的問題，也有一些常用的符號可以應用，運算起來也方便，於是就會在培訓中介紹給學生。就是不懂那些符號，有時也能夠做到其中一部分。當然，有些有用的符號未學會，運算起來就少了優勢。

初時接觸奧數或者其他競賽，看着有新符號，課內沒教過，就覺得陌生，好像有很多知識不懂。多看幾份試題後就會發現，這些符號重複的也真不少。最關鍵令人計不到答案的問題，不是有什麼知識不懂，或者什麼新符號，而是許多知識都無法有效地組織起來。

有時看到一些學生，見到新符號就怕了，就覺得挺可惜的。符號許多時只是為了簡化一些煩瑣的表達，令人運算時舒服一點。另外，奧數裏有的符號，在一些較深入的數學中，還是基本到不得了的，勉強要避開，反而令學生看不到一些更好的數學。學生怎樣克服對新符號的恐懼感，也真是要在學數學的過程中好好鍛煉一番。●張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

●香港數學奧林匹克學校