【奧數揭秘】數字和是4的數

這次談談一道關於正整數各數字之和的問題，也談談一個模型。

問 題：小於1000的正整數中，有多少個各個數字之和是4？

答 案：考慮到數是abc的形式，從而得出算式a + b + c = 4，其中a、b和c都是非負整數。這算式是有特定的解法的，首先把各數加1，即(a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = 7，然後考慮有7個球排成一列，之後嘗試將兩根棒放在球與球之間的空隙處，每個擺放的方式，兩棒左右的小球，會分成三組，每小組中球的數目，會對應於一組解。比方說，如圖一那樣，兩棒的左右的球數目，分別是2、4和1，這樣各減去1，即是1、3和0，也就是對應於130這個各數字加起來是4的情況。

由於球與球之間有6個空隙、2根棒，第一根放着有6個選擇，第二根有5個選擇，而且兩枝互換位置，球的分布是同一個情況，於是有(6 × 5) ÷ 2 = 15組解。

解題過程中，把三個數字加起來是4的時候，解出來時，用上了球與棒的模型，然後得出了答案。當中要留意，在討論的過程中，小於1000的數，有些是兩位數和一位數，涵蓋這些情況的方法，就是容許數字裏的a和b都包括0，這個跟平常設了數是abc時，普遍a都不會是0的情況有分別。

這裏談到球與棒的模型，是有點轉折的，比如解題中各未知數加了1，然後才用上了模型，這有點奇異。事實上，若直下看x + y + z = 7，而其中x、y和z都是正整數，問起有多少個解的時候，用上球與棒的想法就直接易明多了，很自然就知道是上述的15組。而解題中加1的做法，是為了把未知數包括0的情況，跟正整數情況對應，因為解的數目都是一樣。

有時看數學書，見到好像上邊解題的情況，無端的把各數加1，一時間理解不了，有時是因為某些解法背後有些經典的問題，已經有既定的做法，然後這個問題在略為調整之後，就可以連上那個經典問題，所以就會有變換的過程，只是若之前未了解一些經典問題時，就會不太知道為什麼要那樣變化。因此有時看着未理解的時候，先做一些記號，然後看下去，再回頭看看，反而可以看到，其實下邊的才是比較基礎的東西，反而較早提到的，是從下邊的基礎變化出來的事。

數學書看起來困難，其中一樣也是這些先後的問題。有時歷史上先出現的概念，比較直觀，但經後人在邏輯上梳理好，然後寫在書上的時候，可能又放在篇幅較後的部分。放在最前的邏輯基礎，是一些嚴格得來，又跟直覺沒什麼關係，又跟生活見識的現象沒關係的東西，要推論一大堆，才豁然開朗，再學一大堆，才明白為什麼定義起來，要那麼迂迴曲折。

這點讀數學書的難處，在看奧數書的過程，是可以略知一二，懂得對不解的事理多點承受力，仍能堅持，那是好的。讀課程內的數學，有時學生覺得一聽就明白，才是正常的，到了讀一本難一點的數學書，就明白崎嶇才是平常。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。