這次談談一道關於正整數各數字之和的問題,也談談一個模型。

問 題:小於1000的正整數中,有多少個各個數字之和是4?

答 案:考慮到數是abc的形式,從而得出算式a + b + c = 4,其中a、b和c都是非負整數。這算式是有特定的解法的,首先把各數加1,即(a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = 7,然後考慮有7個球排成一列,之後嘗試將兩根棒放在球與球之間的空隙處,每個擺放的方式,兩棒左右的小球,會分成三組,每小組中球的數目,會對應於一組解。比方說,如圖一那樣,兩棒的左右的球數目,分別是2、4和1,這樣各減去1,即是1、3和0,也就是對應於130這個各數字加起來是4的情況。

由於球與球之間有6個空隙、2根棒,第一根放着有6個選擇,第二根有5個選擇,而且兩枝互換位置,球的分布是同一個情況,於是有(6 × 5) ÷ 2 = 15組解。

解題過程中,把三個數字加起來是4的時候,解出來時,用上了球與棒的模型,然後得出了答案。當中要留意,在討論的過程中,小於1000的數,有些是兩位數和一位數,涵蓋這些情況的方法,就是容許數字裏的a和b都包括0,這個跟平常設了數是abc時,普遍a都不會是0的情況有分別。

這裏談到球與棒的模型,是有點轉折的,比如解題中各未知數加了1,然後才用上了模型,這有點奇異。事實上,若直下看x + y + z = 7,而其中x、y和z都是正整數,問起有多少個解的時候,用上球與棒的想法就直接易明多了,很自然就知道是上述的15組。而解題中加1的做法,是為了把未知數包括0的情況,跟正整數情況對應,因為解的數目都是一樣。

有時看數學書,見到好像上邊解題的情況,無端的把各數加1,一時間理解不了,有時是因為某些解法背後有些經典的問題,已經有既定的做法,然後這個問題在略為調整之後,就可以連上那個經典問題,所以就會有變換的過程,只是若之前未了解一些經典問題時,就會不太知道為什麼要那樣變化。因此有時看着未理解的時候,先做一些記號,然後看下去,再回頭看看,反而可以看到,其實下邊的才是比較基礎的東西,反而較早提到的,是從下邊的基礎變化出來的事。

數學書看起來困難,其中一樣也是這些先後的問題。有時歷史上先出現的概念,比較直觀,但經後人在邏輯上梳理好,然後寫在書上的時候,可能又放在篇幅較後的部分。放在最前的邏輯基礎,是一些嚴格得來,又跟直覺沒什麼關係,又跟生活見識的現象沒關係的東西,要推論一大堆,才豁然開朗,再學一大堆,才明白為什麼定義起來,要那麼迂迴曲折。

這點讀數學書的難處,在看奧數書的過程,是可以略知一二,懂得對不解的事理多點承受力,仍能堅持,那是好的。讀課程內的數學,有時學生覺得一聽就明白,才是正常的,到了讀一本難一點的數學書,就明白崎嶇才是平常。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。