這次談一道關於等差數列和等比數列的綜合問題。等差數列的公式，是課內高中的課程，但概念在初中就見過了，有時會出現在中一的代數基礎課題上，同課題也多會出現等比數列，但由於課題主要為了說明數列的概念，所以未深入談及各樣公式。小學其實也多會見識過等差數列，比如小一也會問起，1，4，7，10，……之後一個數是什麽，基本上都是談等差數列。

等比數列在小學就較少提及，原因大概是運算當中涉及太多指數技巧，而小學未學指數，就算勉強談及也難以深入，所以會避免講得太多。

問 題：三個數由小至大排起來，是一個等差數列。另有三個數，成等比數列。順次序分別加起來，得85，76和84。把該等差數列三個數加起來，得126。求各數。

答 案：等差數列連續三個數，加起來是126，得知中間項為[126][3]　 = 42，因此等比數列中間項為76 - 42 = 34。等差數列，由小至大，依次為42 - d，42和42 + d，其中d為公差，是正數。等比數列依次為[34][r]　，34和34r，其中r為公比。

由三組對應數的和，得知[34][r]　 = 85 - (42 - d) = 43 + d，34r = 84 - (42 + d) = 42 - d…(*)，兩式相加，得34r + [34][r]　 = 85，移項後得2r2 - 5r + 2 = 0，解得r為2或[1][2]　。

若r為2，代入(*)得知34 × 2 = 42 - d，求得d為負數，不成立。

若r為[1][2]　，代入(*)得知34 × [1][2]　 = 42 - d，求得d為25。

因此等差數列依次為42 - 25 = 17，42，42 + 25 = 67；等比數列為34 × 2 = 68，34和34 × [1][2]　 = 17。

解題過程中，開始時直接找到了等差數列的中間項，用了除法會比較快。有時學生做等差數列的問題，會太着意用公式，做了五六步才找到頭項和公差之類的，繞的彎比較多。到了有中間項，單單用了公差d，就表示了等差數列其他兩個數。再計出等比數列的中間項，又單單用了r，就表示了等比數列另外兩個數。最後就看明白了，只是兩道方程兩個未知數，容易解出來，然後各數就明顯了。

在等差數列，其實關係到各數大小的，有兩件事，一是公差，二是其中一個數是怎樣。公式裡會用a代表首項，d代表公差，然後通項是a + (n - 1)d，這個記着當然方便，但有時已知的數未必是首項，可能是已知第十項，然後要求第十二項，那樣勉強先求首項，也會比較轉折，倒不如把第十項加上兩個公差，就得到第十二項。

等比數列也有類似情況，關鍵到底就是有公比，有其中一個數，其他就可以用這兩個數表示出來，也未必需要時常先求首項的。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。