這次談一道關於等差數列和等比數列的綜合問題。等差數列的公式,是課內高中的課程,但概念在初中就見過了,有時會出現在中一的代數基礎課題上,同課題也多會出現等比數列,但由於課題主要為了說明數列的概念,所以未深入談及各樣公式。小學其實也多會見識過等差數列,比如小一也會問起,1,4,7,10,……之後一個數是什麽,基本上都是談等差數列。
等比數列在小學就較少提及,原因大概是運算當中涉及太多指數技巧,而小學未學指數,就算勉強談及也難以深入,所以會避免講得太多。
問 題:三個數由小至大排起來,是一個等差數列。另有三個數,成等比數列。順次序分別加起來,得85,76和84。把該等差數列三個數加起來,得126。求各數。
答 案:等差數列連續三個數,加起來是126,得知中間項為[126][3] = 42,因此等比數列中間項為76 - 42 = 34。等差數列,由小至大,依次為42 - d,42和42 + d,其中d為公差,是正數。等比數列依次為[34][r] ,34和34r,其中r為公比。
由三組對應數的和,得知[34][r] = 85 - (42 - d) = 43 + d,34r = 84 - (42 + d) = 42 - d…(*),兩式相加,得34r + [34][r] = 85,移項後得2r2 - 5r + 2 = 0,解得r為2或[1][2] 。
若r為2,代入(*)得知34 × 2 = 42 - d,求得d為負數,不成立。
若r為[1][2] ,代入(*)得知34 × [1][2] = 42 - d,求得d為25。
因此等差數列依次為42 - 25 = 17,42,42 + 25 = 67;等比數列為34 × 2 = 68,34和34 × [1][2] = 17。
解題過程中,開始時直接找到了等差數列的中間項,用了除法會比較快。有時學生做等差數列的問題,會太着意用公式,做了五六步才找到頭項和公差之類的,繞的彎比較多。到了有中間項,單單用了公差d,就表示了等差數列其他兩個數。再計出等比數列的中間項,又單單用了r,就表示了等比數列另外兩個數。最後就看明白了,只是兩道方程兩個未知數,容易解出來,然後各數就明顯了。
在等差數列,其實關係到各數大小的,有兩件事,一是公差,二是其中一個數是怎樣。公式裡會用a代表首項,d代表公差,然後通項是a + (n - 1)d,這個記着當然方便,但有時已知的數未必是首項,可能是已知第十項,然後要求第十二項,那樣勉強先求首項,也會比較轉折,倒不如把第十項加上兩個公差,就得到第十二項。
等比數列也有類似情況,關鍵到底就是有公比,有其中一個數,其他就可以用這兩個數表示出來,也未必需要時常先求首項的。●張志基
●香港數學奧林匹克學校
簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。
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