這次談談一道組合問題。
問 題：能被3整除，且又含有數字6的五位數共有多少個？
答 案：五位數中，3的倍數共有M = [99999][3] - [9999][3] = 30000個。
設其中沒有數字6的共有N個，這些數字可由各個位分別考慮。
萬位除了0和6，共有8個選擇。
千位，百位和個位，都可以選6以外的數字，共有93個選擇。
個位不能是6，而且要使得各數字之和是3的倍數，考慮0至9之中，除了6以外，除以3的餘數，得知{0,3,9}，{1,4,7}和{2,5,8}三組，每組之中，除以3的餘數都相同。不論是哪一組，都是有3種選擇。
故此N = 8 × 93 × 3 = 17496。
因此含有6的數字，有M - N = 30000 - 17496 = 12504個。
剛才解題的過程中，先找出五位數中，3的倍數有多少個，然後排除了沒有6字的情況，而排除6字的過程中，最巧妙的一步是看個位時，用上了餘數的分類。原本在0至9之中，能除以3的有0、3、6、9四個數字，撇除了6字，只餘下3個數字，就可以跟其他兩組的情況一樣，於是可以用乘法。留意到個位的情況，若果題目中的6，改成3或9，答案也是一樣的。若果改成0，則萬位的情況就有分別，那時萬位就有9個選擇，而不是8個。
這題在初學來說，需要讀得比較好的學生才可以挑戰得到。雖然說基礎知識很少，但計起來未必能直接計算，要由排除入手，又能妥善處理各個位的選擇，都是要思考較有系統的學生，才可以掌握得了。
面對組合問題，學生的問題多數是急於把答案心算出來，或者直接開始列式，想一下子就想通了。這個想法若是遇上簡單的問題時，未必會有障礙，但問題複雜一點，失誤就多了很多。主要困難是，組合問題的算式、各個情況有多少個選擇、是加還是乘、有沒有重複、有沒有遺漏，每個細節是要很精細地想清楚，然後才可以列出一道正確的算式。這個精細的程度，比日常生活的思考仔細很多，所以順着思想習慣去解決組合問題，經常都會發現失誤。
學組合問題，大致的方向，都是由表達好自己的想法入手。多用列舉和畫圖，尤其是樹形圖更要學好，或者是寫文字，記下想法。在列舉中由簡單幾個情況，令到自己開始看到規律，才容易引入加法以至乘法。到了初步掌握乘法了，有些練習也可以直接用上乘法了，也漸漸有個階段，挺想直接用乘法，若遇上思想有點模糊時，未懂得再由列舉開始。這下子還得要在表達上再加強一下，由列舉重新起步，像畫圖表達那樣，之後具體的列舉法和抽象的運算就比較能互通。
組合問題練習起來，表達過的遠比答案裡一道算式多很多，有時兩三行算式的答案，背後的表達和嘗試可能是要半頁紙的。因為數漏一個選擇已經全盤錯了，所以把細節放大，才是令自己更精準的方法。 ●張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
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