這次談談一道關於三角形最大角度的問題。
解題過程中,把條件化簡一下,觀察到算式有一部分跟餘弦定理其中一部分一樣,就想到當中可代入,然後找C的角度剛好是鈍角,而三角形裏有鈍角時,它必是最大的角,因此就找到了最大角的度數。
題目裏的條件其實挺陌生的,如果開始時沒心思去把各項整理好,用上了其他定理,去了其他的枝節處,可能很久也未必看得出跟餘弦定理的關係。即使各項整理好,還要對餘弦定理各項有較深刻的印象,才可以應用自如。
這道題目在初中算是不錯的奧數入門題目,考驗了學生代數移項、餘弦定理和三角函數的綜合應用,開始時情景又並非學生熟悉的題型,過程中需要一些對未知的探索階段,之後才會有豁然開朗的發現。
問題作為綜合題的練習很適合,但從結果和條件上看,就會發覺條件比較特殊,很難有什麼延伸的應用,即使記着了,也未見得有用。所以解完之後,就不需要思考怎樣推廣,或者即使解不了,看了答案,也不需要太着意去仔細探索。
平常看題目,明白了什麼題目比較值得探索和記住結果,也在解題中,比較出什麼問題是練習的作用,而無須太仔細探索,也是一種學習。這當中有個篩選的過程,做得好的話,可以省去多餘的精神,將注意力集中在一些較有用的結果上,令到自己學習更有效率。
奧數的題目有很多,小部分比較有用,也有一大堆較難的綜合題,但當中用處的大小是有分別的。懂得分析問題有多少用處很重要。在比較之中會漸漸明白,為什麼一些常見的結果會被稱為定理,又有些題目會被稱為偏題,不需要花太多注意力。
談起奧數有不少偏題的問題,其實是難以避免的,始終世界各地出題的人有很多,挺難要求題目都有很好的實用性。不過在難度不同,實用程度亦各異的情況下,也令學生多了一個比較各個問題的機會,明白什麼問題比較有啟發性。
說到底,讀書就是這樣,平常人走入一間書店,也不會本本書都有用,有些在提升興趣時有用,但深度就未夠;有些見解精闢,但看着艱澀;有些解釋詳盡,但想看些簡介時,又嫌它太長篇大論。自己閱讀的時候,有什麼可以令自己再前進一步,是重要的問題,不是愈淺愈好,也不是愈難愈好,也未必是愈實用愈好,這當中變化很多,但最終累積起來時,興趣和能力都是互相成就的。 ●張志基
簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
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