這次分享一道關於等腰三角形的問題。

問 題：已知三角形一條邊的長度與其對角大小固定，證明當周界最大時，該三角形是等腰三角形。

答 案：如圖一，由正弦定理，得知[a][sin A]　 = [b][sin B]　 = [c][sin C]　 = 2R，其中R為外接圓半徑，不妨設a和A是固定的邊和角。

由於a是固定，周界何時最大，只需要考慮b + c。

b + c

= 2R sin B + 2R sin C

= 2R (sin B + sin C)

= 2R．2sin [B + C][2]　 cos [B - C][2]　

= 4R sin [180o - A][2]　 cos [B - C][2]　

由於A是固定，sin [180o - A][2]　亦是固定，當b + c為最大時，必有cos [B - C][2]　 = 1，即[B - C][2]　 = 0，得B = C，因此當周界最長時，該三角形是等腰三角形。

解題過程中用上了正弦定理、三角函數的和差化積，與餘弦值極大值的知識。正弦定理在探索三角形的邊和角之中，有重要的功用。大致來說，就是兩邊和兩對角的關係中，有一個未知的時候就用得上。配合餘弦定理，在三邊一角的情景下，找其中一個未知量，就可以計算出許多三角形相關的量。這些三角形內部的邊和角的探索，在立體幾何中有無數應用，課程內很重要，奧數裏是初中的內容。

用類似的想法，其實也可以討論在同樣條件，面積何時最大的問題。三角形的面積就是[1][2]　 bc sin A，要求最大值，只需討論bc。留意到bc = 4R2 sin B sin C = -2R2 [cos (B + C) - cos (B - C）] = 2R2 [ -cos (180o - A) + cos (B - C)]，當B = C的時候，cos (B - C)是1，達到bc的最大值。

討論面積時這樣想固然可行，但也有個簡單的想法，就是把△ABC放在一個圓裏，如圖二，將長度固定的BC水平放着，那如果A是固定的話，A就是BC上方圓周上的點，當A在最高點A'的時候，面積就會最大。

後面提到的想法，在處理面積問題時是挺快的，但想用在原本談周界的問題上就很複雜了。因為A在圓周上不同位置時，左邊大了，右邊就小了，兩者相加的變化怎樣，就沒那麼明顯。

關於一個圖形的周界與面積何時最大的問題，有個數學結果名為等周定理，意思是當平面上的圖形有固定周界時，以圓形的面積為最大。這個定理的數學表達式也很簡潔的，就是周界是P，面積是A的時候，有4πA ≤ P2。結果看起來簡潔，但證明起來也不是憑直覺就想得出來，有興趣的讀者可以在網上找找相關的條目看看。 ●張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校