整除的概念，在小學時就有了，比如6可被2整除，就是6 ÷ 2的結果是整數的意思，在數學裏有個符號用來表達這個意思，就是2 | 6。這個符號在奧數裏會引入，但在課內一般不會使用。若果要表達7不能被2整除，就寫成2 | 7。

由小學的奧數開始，整除的題目就比課內數學多了許多變化，比如講述一些常見數字的整除性之餘，亦要求對整除的法則靈活運用。比如會問起五位數34x8y若果能被9整除的話，有多少個符合條件的x和y之類的問題。比起純粹用法則來檢查一個數能否被9整除，多了一些難度，也能令學生見識到多點變化。

這次分享一道關於整除性的題目，基礎知識上初中程度就夠了，不過變化上還是略有巧妙的地方。

問 題：

如果a < b < c < d < e是連續的正整數，b + c + d是平方數，a + b + c + d + e是立方數，那麼c的最小值是多少？

答 案：

由於a < b < c < d < e是連續正整數，所以b + c + d = 3c及a + b + c + d + e = 5c。

由題意，設b + c + d = m2及a + b + c + d + e = n3。

因此3c = m2及5c = n3。

由3c = m2得3 | m，所以32 | m2，從而3 | c。

由5c = n3，所以5 | n，又有53 | n3，得52 | c。又由3 | c及5c = n3得33 | c，所以52．33 | c，故c的最小值為c = 52．33 = 675。

在解題過程中，那些a、b、d和e是什麼其實沒什麼關係，是連續正整數，或者是正整數的等差數列也好，只是用來幫助列出3c = m2及5c = n3就夠了。當中比較巧妙的地方，是當有3c = m2時，得出m是3的倍數，又推出m2是32的倍數，反過來推出c是3的倍數。

這些把整除性作為觀察算式的一個角度，反覆應用，得到各個未知數特徵的想法，在解方程時有很大作用。奧數裏先加入整除性的角度，之後再把一些餘數性質的角度引入到解方程的過程裏，於是學生在平常的解題過程中，遇到各樣的方程，都能夠得到一些解為整數時的資訊。

奧數裏有不少新角度，可以加強平常運算和解難效果，例如各種速算巧算的技巧，或者是一些特殊代數式的性質之類，令到學生在學習的過程中，不只加添了新的知識，也鞏固和加強了舊有的基礎。

由於加添了新的角度，於是學生就能夠解決一些看來較新較難的問題。例如在觀察餘數之中，能夠快速計算出4936 × 213除以7的餘數是3。這些問題開拓了學生的視野，令學生明白到以前學的知識經過重新組織之後，可以解決到另一水平的問題，從而明白到，自身原有的知識，在重新組織並反覆應用之後，也能夠得到超出原本想像的結果。這是求學中一個重要的體驗。

不過在開拓視野的過程中，也要留意到較新較難的問題，未必如基礎的問題一般常見和實用，難題有時會有生僻的感覺，但作為一個有趣味的挑戰也未嘗不可，學習重點還是以鞏固基礎加深常見情景的觀察為要。開拓視野原是為了加強學生的見識和自信，若是相反，被生僻的難題打擊了自信，那就離開了難題的原意。要留意的是，即使學生未能解決新的難題，他們的能力也沒因此而降低，相反，每個難題都是一個能力成長的機遇，這樣看想法就會正面一點。 ■張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

■香港數學奧林匹克學校