這次介紹一道關於整除的題目。
問 題：
設x為正整數，f(x) = [3x2 - 2x - 9][x2 - 2x - 3] ，若要使f(x)為整數，x的最大值是多少？
答 案：
整理後，f(x) = [3x2 - 6x - 9 + 4x][x2 - 2x - 3] = 3 + [4x][(x - 3)(x + 1)] ，
若要這個數為整數，則必有(x + 3)和(x + 1)整除4x。
由於(x + 1)和x是連續數，兩數最大公因數必是1，因此(x + 1)整除4。
(x + 1)只能是2或4，即x分別只能是1或3。
由於x為3時，原式無意義，再由驗算得知，x可以為1，
因此使f(x)為整數的x最大值是1。
解題的關鍵，在於把原本的分式化為較簡單的分式，當中滲入了多項式的除法，有點像小學時假分數轉成帶分數的技巧。之後用上了連續數互質的性質，得知(x + 1)是4的因數，那樣原本沒限制的x值，就被4的正因數個數限制了，然後就可以逐一檢驗，最後得出答案。
代數變形的技巧，在課內數學裏有不少，比如簡單的有因式分解和展開，或者高中教的一元二次函數的配方法，都是代數變形的常見例子。這裏用上了整除的性質，則在數學競賽裏才比較常見，課內很少會談到這部分。
在中學階段，讀數學比較認真的學生，有時也未必懂得怎樣有方向地做代數變形。比如多項式，若見到展開了，就想做因式分解，或者見着算式因式分解了，就會想展開看看，未必有什麼方向感。題解裏用除法並不是隨意的，主要是想把分子的次方降低，就是未做完之前就能預知到之後會較簡單才去做的。有時做代數變形，就是要有這方向感。
即使成績較好的學生，遇上較複雜的問題，變來變去也沒能變出想要的形式，只能盲目地應用着各種恒等式，或者想添項拆項，但又不見得簡化了什麼，倒是愈做愈複雜。課內的題目，簡單起來，只要盲目地嘗試多幾個變化，運氣夠好的話，就可以處理，於是這點盲目帶來的影響沒那麼明顯。到了處理奧數的題目，變化大了，沒方向的隨意變化，基本上都是變不完的，而且奧數的變化還可以有很多創意，於是技巧愈見愈多的時候，愈來愈找不着變化的線索。
解題有點方向感是好的，不過經驗未夠的時候，也難免要在嘗試中累積經驗，等經驗足夠多了，才有一些較抽象的領悟，明白大致上做什麼可以有什麼結果。這些領悟出來的心得，並不是定理，用起來不能太死板，比如奧數裏也有些排序原則、極端原則之類的解題想法，都不是一些有固定條件的定理和公式，沒法生搬硬套。用起來也許有用，也許沒有改善，都有可能，至於怎樣才用得好，要靠自己在做數過程中練出來的，別人很難說得明白。
做數學題中反省出來的心得，或者平常讀書的心得，往往說出來時，都是滿足某些條件下才正確的，這些都要在練習時嘗試應用，有時或會遇上不適用的情況，日子久了才明白真正適用的範圍是怎樣的。聽着一些學習心得，生搬硬套解決不了問題，就覺得心得沒有用，這樣別人分享了什麼心得也吸收不來。這個真是學習的一大誤區，要小心注意。 ■張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
■香港數學奧林匹克學校
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