問題：劇場裏共有1000個座位，排成若干排，總排數大於16，從第二排起， 每排比前一排多一個座位，那麼劇場共有多少排座位？

答案：設第一排有a人，共有k排，則由第一排起，人數分別是a,a+1,a+2,…,a+k－1，以公式求和得k(2a+k－1)/2=1000，化簡得k(2a+k－1）=2000=2⁴×5³。

這樣知道k是2000的因數，但仍有很多選擇，這裏有兩個竅門，令選擇收窄。

首先留意算式左方兩數加起來，k+(2a+k－1)=2(a+k－1）是奇數，因此k與(2a+k－1)是一奇一偶。即是2只會是兩數其中一個的因數，不會同時出現在兩數中。

其次，由於a至少是1，於是(2a+k－1)大於k。

由這兩個竅門，可以看出k只能是5²=25，對應的(2a+k－1)為2⁴×5，因此有座位25排。

題解中一開始用上了等差數列的基本知識，把各數用代數表示，然後求和再套入條件。之後知道排數k是2000的因數，比較多，逐個嘗試會費時，而簡化的關鍵就是發現當中兩個竅門：一是兩數一奇一偶，二是k比較小。之後就能找到答案。後半部分說明比較簡潔，下邊詳細說明。

k為2000的因數時，由於它大於16，只能是2⁴×5,2⁴×5²,2⁴×5³,5³或5²，對應的(2a+k－1)分別為5²,5,1,2⁴或2⁴×5。這裏若果k是偶數，則一定是有2的4次方，否則其中一個2會屬於(2a+k－1)，成了奇數，違反了一奇一偶的特性。另外，由於k較小，就只有最後一種情況才是可能的。

剛才提起的兩個竅門若果沒用上，檢查2000的因數時就有20個，有10對，比先用第一個竅門篩選出5個，再用第二個竅門的解法複雜多了。

題目內容是等差數列的常見情景：劇院裏的座位數每排比前排多一些，可能涉及計算座位總數之類的問題，在高小奧數裏或課內高中的數學也不時會出現。初步來說看似容易入手，一開始也跟常規題目區別不大，開始解題後，就見到分別了：即使用上了求和的公式，還是無法直接找出k。這裏只有一道方程，卻有兩個未知數k和a，在平常的數學裏，看到這可能已經覺得無法解決。突破的關鍵是發現座位排數k及第一排人數a都是正整數，用上了整除的性質，才知道k是2000的因數。再配合上邊說明的竅門，才能很快知道答案。

這次題目的情景是劇院，是日常生活中常見的地方；在數學裏，又是競賽題目與課內題目的常見課題。當中穿插了一些整除性的技巧，再包含一些巧妙的方法，可以在常規思路以外找到捷徑，令到學生在應用等差數列公式中，察覺代數式中正整數系的資料以及相關的數論技巧，生動又實用，能讓學生時常聯想、思考。● 張志基

香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。