問題：黑板上有3個數，任意擦去其中一個，將它改為餘下兩數之和減1，這樣進行多次，最後得到17,1967, 1983。問原來的3個數是2, 2, 2嗎？

答案：試着依題目操作，而開始時是2, 2, 2，那樣刪去一個後，補上的就是2+2-5=3，也就變成2, 2, 3，留意奇偶性，那是兩偶一奇的情況。

若下一步刪去的為2，則補上的是2+3-1=4，即變成2, 4, 3，同是兩偶一奇。

若下一步刪去的為3，則補上的是2+2-1=3，變回2, 2, 3，同是兩偶一奇。

綜合上述，自從第一步之後，三個數都是兩偶一奇，而題目中最後的數，是三個奇數，故此原本的三個數，不會是2, 2, 2。

解題關鍵是留意到奇偶性的變化，而每次操作的過程中，除了首次外，之後奇偶性都保持一樣，於是其他奇偶性形式的三個數就不會是最終的結果。

為了講解簡潔，不妨把奇偶性用自然數除以2的餘數1和0表示，比如上邊的2,2,2是三個偶數，就把它表示成000。操作一次後，變成2,2,3，就表示成001。由於黑板上的數沒分次序，於是100,010,001是一樣的。那樣黑板上最後的三個數，17,1967,1983，就是111的情況。這樣表示下，很容易看得出，最後的數除了不能是111的情況，還不可以是011，即兩奇一偶的情況。

看到這裏可能會問，已知兩奇一偶的情況不可能是最後的結果，那011之類的表示有什麼作用呢？就奇偶性來說，是談論餘數時的一個特殊情況，即是自然數除以2的餘數。若是延伸一下，可以觀察除以3的餘數的，那樣17, 1967, 1983除以3之後，餘數分別是2, 2, 0，就是220的情況。而開始時的2, 2, 2，直下就是222的情況，於是問題就變成「222會不會在操作當中變成220」。

上邊的解法，其實是在考慮餘數。在操作的變化當中，原本三個數的餘數變化軌跡中，會不會含有最後那組數的情況。由於題目比較特殊，只簡單考慮除以2的餘數就得到了答案，但這明顯不會是普遍的情況，只需把幾個數改一改，這個討論奇偶性的方法就不可行了。

上述想法稍作推廣，可以自行選取適當的數，比如3或更大的數，看看各數的餘數，看看餘數組合的變化軌跡，會不會遇上最後三個數的餘數組合。由於數是自行選取的，相比原本只觀察2的餘數，應用範圍就大了很多，能看到的資訊也多了。

題目本身是在黑板上寫數字，很生活化的，而當中可以討論到餘數分類、奇偶變化等比較偏向純數學的內容，難度水平適中，對於入門來說是道有趣味的好題目。

● 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。