關於下方題目，有個概念叫「線共點」，就是三條直線通過同一點，圖一所示為特殊情況。一般而言，三條直線每兩條之間都會有一個交點，共有三個交點。

問題：三角形裏，由各頂點對於對邊的三點連直線，其中任意三線不共點。這些線段最多把三角形分成多少區域？

答案：如圖二，在A點處跟對邊三點連線，把三角形分成了4個區域。

如圖三，若在B點加一條直線到對邊，會多出4個區域，這樣加添3條直線，就多了3×4=12個區域。

如圖四，若在A和B點的線都已連結後，在C點向對邊連線，那樣每多添一條線，就會多了7個區域，於是加了3條直線後，多了7×3=21。

因此共分成了4+12+21=37個區域。

題解由一點的連線開始，了解到最基本有4個區域的情況，然後逐步觀察，由另一頂點添加一條線時會產生怎樣的變化規律，之後再次應用這個逐線觀察的方法，發現最後一個頂點連線時每次多4個區域，就得到答案了。

這題的解法若果出現在講求精簡表達的書本裏，可能只用一道算式就講完了。上邊的題解則是嘗試仔細說明探索過程以及思考的步驟，而這些思考過程，亦可推廣到點較多的情況，有較廣泛的意義。

題目本身在基礎知識來說初小也懂，就只涉及三角形的概念，然後連直線、找區域，要是仔細畫出來，把圖畫得大一點，小學生都會做。

不過，在教學意義上，這題的關鍵是怎麼由簡單情況推廣至較複雜的情況，以至求公式的問題，又或者推廣至多邊形、普遍平面等情況。

學生初接觸這題時，可能會因為需要添加的線段較多從而覺得有點混亂，加上區域時大時小，圖形看來就是一團糟。在這些混亂的情景下，學生開始感到要換個較有系統的方法，渴求有個循序漸進的方式可以找到答案，那樣就有動機更新思考方式。

這道題的價值正是在於能令學生衝破原本的思考方式，對於中小學各水平學生來說都是有益的練習。

在數學能力成長的過程中，由零散的試算到開始有組織的聯想，再到可以逐步仔細說明的推論，然後找到可以由近及遠推廣且系統性的想法，這些都是思考能力發展的象徵。以藝術來比喻，有如小孩初時繪畫只會塗鴉，之後學會素描，了解各事物的紋理和比例，漸漸構圖結構變得嚴密、有取捨，能夠在平面上表現出寬廣又有深度的空間感。

思考能力的成長，大概就是由無序到有序，由近及遠、由淺入深，無論在哪個領域都大致如此。● 張志基

香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。