
題解裏先用代數表示幾條邊,發現a和b相等,之後用了相似三角形的性質,對應邊比例相同,化簡後用整數的性質,於是找到了邊長的最小值。
設未知數的做法有很多方式,除了題目關鍵資料中,數值為整數的邊設成x與y以外,設為a和b的邊要是用其他方式去表達也可能更複雜。若想用少一些代數符號去表示的話,b可以寫成x/2001,對於平常的解難思路來說,這樣去表示各邊普遍會較方便計算,只是對於這題來說,反而會麻煩。
其中,發現a和b相等的一步用到了代數化簡。其實若發揮點想像力,想像正方形被一條直線分成兩個面積相等的部分,好像正方形三文治被切了一刀那樣,就很容易明白a和b兩邊一樣,這是通過日常生活經驗可以知道的,題解只是用數學式表達得仔細些。先有直觀的結論,再用數學上嚴謹的論證,也是探索題目的好方法。
另外,這題用坐標幾何來計算也是一個好的思考方向。比如用O作原點,OD為x軸,可以考慮OE的直線方程,再用邊長表示各點坐標。不過,用坐標幾何時未知數就要避免用x和y,以免跟方程裏的x和y混淆,值得讀者嘗試一下。
題解最後一步用到整數的性質,解得邊長的最小值,這一步事前未必能預料得到,從題目來看,限制邊長大小的條件並不明顯,比如沒有明顯的不等式之類會限制邊長,從而找到最小值。在探索後才發現,關鍵的限制是不太惹人注意的整數條件,所以完成後有些驚喜感以及探索的趣味。
這題在競賽入門階段也算是中等難度,需要學生做較長篇幅的推論,設未知數上要有巧思,推論上又需穩妥。此外還要有意識去找尋邊長與OD的關係,嘗試找尋兩條整數邊的關係,又要找到限制條件。競賽入門階段,學生初接觸競賽數學時在解難上要有方向感,也不是容易的事情。
題目有引入直觀想像的部分、較長篇幅的推論部分,有一題多解的可能,最後整數條件限制了關鍵數值,突破許多課內數學的經驗,令學生開闊眼界。● 張志基0
香港數學奧林匹克學校
簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。
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