【奧數揭秘】啟發題目解難考智 助培養論證能力

問題：由1至9當中，取出N個數，使得當中必有幾個數之和為10。求N的最小值。

答案：估算N的最小值，先把各數分為{1, 9}, {2, 8}, {3, 7}, {4, 6}及{5}共5組，若是取出6個數，必有兩數在同一組，於是該兩數之和為10，因此N的最小值小於或等於6。

若N為5，可找到{5, 6, 7, 8, 9}這個情況，當中無論取多少個數之和，皆不是10。

故此N的最小值為6。

題解中先估算N的最小值，分組後得知最大為6，然後發現N為5時有反例，故此最小值為6。留意當中找反例的一步是重要的，否則無法確認最小值為6。

這題的好處是門檻低，且有技巧，情境裏需要的知識是極少的，要是語文能力足夠的話，初小階段就可以明白。不過當中的技巧要用上分組的方法，即抽屜原理的相關技巧，對初小階段的學生略為困難。

雖然說知識基礎上看來可以放在初中或小學來提問，但實際上卻容易出現困難，比如學生未必有論證的意識，甚至未明白論證是什麼。可能他們做起來，有些學生只是試了幾個情況，看到經驗上好像6是對的就下了結論，而不是用推論去證明。

若是在數學競賽中出現這些問題，答題時又多數只要求數字答案，那樣就無法分辨學生是依次試算得出結果，還是通過論證推導出來。

在初中的階段，水平較高的學生做數學題時，若要從無到有培養論證的意識，需要老師在指導過程中令學生懂得分辨，哪些結論是出於經驗的歸納，哪些是假設，哪些只是個別例子，用這些作為結論的根據，為什麼不可行。老師在質疑學生的推論過程中，破除許多想當然的假設，之後才可以建立論證的基礎。

訓練論證的過程中，學生難免有些漏洞，比如上方的題解中，學生容易在找到最小值最大為6之後，未考慮N為5時的反例，於是無法解答為什麼N不能為更小的質疑。

另外，學生若果在試驗中得到最小值為6的結論，在檢查答案時，很容易會覺得已經找到答案了，不明白為什麼要論證，又覺得自己的方法可行，並非未完善的方法。這些建立結論的過程當中，由試驗假設歸納過渡到論證，是需要老師在旁指導，解釋許多誤解的。

這次分享的題目裏只需很少的基礎，同時包含了解難中的智巧，能夠反映出學生在確定結論的方法上的錯誤和發展空間，是一道有啟發性的題目。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。