題解裏先把收斂的值設為y，而由於根號內，y的形式重複出現，於是就成了另一個y。留意到取n為主項，則可試出y最大為多少。當中有個小步驟，也可以留意一下，為什麼n=y(y－1）時，右方的有理數y也必然是整數？有興趣的讀者可以想想。

題目裏有「收斂」這個詞，簡言之就這算式計出來，有固定的有限數值。平常牽涉無限項相加的算式，未必時刻都可以有個固定的數值，比如1+2+3+…，要是有限項時，固然有公式，但若果是無限項，就會變成無窮大，沒什麼固定的有限數值。

收斂這個詞，在數學的延伸部分裏，是極限那一課的，就是代表有極限的意思。通常會把這題目裏的算式，理解為一個數列，當中第1項為y1= n，第2項為y2= n+ n，如此類推，普遍有yn+1= n+yn。以這數列的極限，為算式的數值。若果想多些了解，現代數學對於極限的理解，就可以看些數學分析的書。

由小學時學加法，到加很多項怎樣做巧算，再到套公式計算一些等差數列總和，到無限項的和，這個發展就漸漸開拓了數學的想像。原本各數各項加起來，好像挺順利的，但到了無限項，有需要問起能否相加的問題，即是加起來，有沒有個固定的有限數值的問題。

另外，即使加起來是無窮大，還是可以看它大概是怎樣的無窮大。比如上方1+2+3+…會變成無窮大，若是它在有限項時，寫成1+2+3+…+n，就是 ，這算式是關於n的二次多項式，於是n一直增長時，總和是在n2的層次上增長的，由此對於這點無窮大，有了更仔細的了解、更細緻的區分。

回想起小學時的應用題，談起買8個橙，再多買9個，還不過是加數；後來即使再多些資料，也未至於會問起這些數能不能加在一起之類的問題。原本用常識與直覺就能處理的數學問題，一直追問下去，談到無限個數相加，就漸漸無法有效用直覺去思考，而要仔細地用邏輯推導。事實上，即使有意識去推導，還是經過許多年月，才梳理清楚許多奇怪的現象，令人們推導起來不易找到矛盾。

這裏可以看到，數學語言比平常的語言，有更精微的地方，可以說得清楚平常的語言無法講清楚的事。就是普通的加法，也不只是純粹的算術操作，還有能不能加，無窮大又是什麼層次上等等。數學語言開拓了另一層次的思想深度，令人多了一樣思考工具，看清事理的變化。

● 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。