問題:在90至100這11個正整數中,有多少個數可以表示成a+b+ab的形式,其中a和b都是正整數?
答案:設該數為n,則有n+1=ab+a+b+1=(a+1)(b+1),即n+1為合成數。由於91≤n+1≤101,除了97和101以外,都是合成數,故此有11-2=9個符合條件的數。
題解中設未知數後,把表達式加了1,然後發現可以因式分解,之後見到符合條件的數,就是加1後是合成數,逐一檢查各數就找到了答案。
題目水平對初中到高中或是初接觸競賽數學的學生都有好處,問題裏的表達式,對於平常的學生來說不常見,因式分解的方式並不是用上一些常見恒等式,即使知道要加1也未必想得到分解後的樣子,不知道分解了有什麼用。開始就要添項,特別地加上1也是一個難點。
課程內學習因式分解,用處多是處理分式加減時求公因式,或者解方程時有用,較少在正整數的範圍內討論。把代數式限制在正整數範圍內討論,引入整除性質,從而加入一些數論的視角,是競賽數學的主要內容。
在代數式裏引入正整數的整除性,可以有效地把中學的代數,與小學裏學到的正整數性質聯繫在一起。這不只是在重溫低年級所學,而是令學生學習時發現,低年級的內容可以用另一種方式,跟高年級的內容連上關係,從而發現新的思路。
初接觸競賽題時往往會發現,看起來不太懂的問題,在看題解時,那些解法是很基礎的,仔細點看可能還發現,那些東西可能小學時就已學過,但解起來就是想不到。尤其是數論的問題,不時談起整除性,好像小學時學過了一些,一旦做題又沒有思路,這個是很平常的。
因為平常在課程裏學習,遇上的數學題,很少組織得比較巧妙,要是技術太精巧了,考試沒人會做,評核時就無法分辨學生能力高下,所以很少出現,到了高年級,也未必會見過類似的題目。
讀書學習過程中,見到除了平常學習的先後順序以外,有其他組織方式,比如看到第一課與第五課有關,有些章節或定理,雖然沒有明說有關係,但閱讀時一定要聯想到有關係。讀書時想得通沒寫出來的意思,把書本裏各樣概念聯繫成一個大網絡,要搜尋和應用各樣知識也就容易多了。
在書本上看到某個概念時,若能做到隨時可以聯想起許多與它有關的內容,說明腦海中的知識已經組織得相當緊密,即使偶爾有部分忘記了,還是可以通過其他概念,去推論或者聯想起來,對於記憶也有很大幫助。對中學生來說,公開試要記許多內容,其中一個可以參考的方法,是多發現各定義與定理的關係,在綜合題裏找尋更多可以連結的課題,容易有舉一及三之效。
● 張志基
簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。
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