問題：在90至100這11個正整數中，有多少個數可以表示成a+b+ab的形式，其中a和b都是正整數？

答案：設該數為n，則有n+1=ab+a+b+1=(a+1)(b+1)，即n+1為合成數。由於91≤n+1≤101，除了97和101以外，都是合成數，故此有11－2=9個符合條件的數。

題解中設未知數後，把表達式加了1，然後發現可以因式分解，之後見到符合條件的數，就是加1後是合成數，逐一檢查各數就找到了答案。

題目水平對初中到高中或是初接觸競賽數學的學生都有好處，問題裏的表達式，對於平常的學生來說不常見，因式分解的方式並不是用上一些常見恒等式，即使知道要加1也未必想得到分解後的樣子，不知道分解了有什麼用。開始就要添項，特別地加上1也是一個難點。

課程內學習因式分解，用處多是處理分式加減時求公因式，或者解方程時有用，較少在正整數的範圍內討論。把代數式限制在正整數範圍內討論，引入整除性質，從而加入一些數論的視角，是競賽數學的主要內容。

在代數式裏引入正整數的整除性，可以有效地把中學的代數，與小學裏學到的正整數性質聯繫在一起。這不只是在重溫低年級所學，而是令學生學習時發現，低年級的內容可以用另一種方式，跟高年級的內容連上關係，從而發現新的思路。

初接觸競賽題時往往會發現，看起來不太懂的問題，在看題解時，那些解法是很基礎的，仔細點看可能還發現，那些東西可能小學時就已學過，但解起來就是想不到。尤其是數論的問題，不時談起整除性，好像小學時學過了一些，一旦做題又沒有思路，這個是很平常的。

因為平常在課程裏學習，遇上的數學題，很少組織得比較巧妙，要是技術太精巧了，考試沒人會做，評核時就無法分辨學生能力高下，所以很少出現，到了高年級，也未必會見過類似的題目。

讀書學習過程中，見到除了平常學習的先後順序以外，有其他組織方式，比如看到第一課與第五課有關，有些章節或定理，雖然沒有明說有關係，但閱讀時一定要聯想到有關係。讀書時想得通沒寫出來的意思，把書本裏各樣概念聯繫成一個大網絡，要搜尋和應用各樣知識也就容易多了。

在書本上看到某個概念時，若能做到隨時可以聯想起許多與它有關的內容，說明腦海中的知識已經組織得相當緊密，即使偶爾有部分忘記了，還是可以通過其他概念，去推論或者聯想起來，對於記憶也有很大幫助。對中學生來說，公開試要記許多內容，其中一個可以參考的方法，是多發現各定義與定理的關係，在綜合題裏找尋更多可以連結的課題，容易有舉一及三之效。

● 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。