【奧數揭秘】延伸題目思考 多學一點知識

解題的關鍵在於，正方體上頂點之間的線段長度只有三種，而剛好題目中的三點連結起來的線段長度各不相同，因此發現AC是最長的對角線，穿過中心點，中心點又剛好是AC的中點，因此解得答案。

題目這樣是解出來了，要當作完成了也可以，不過也可以順道了解一下，正方體頂點間的線段除了只有三種長度，這些長度間又有什麼關係。這也容易，簡言之是1： 2 ： 3，只需要假設邊長為1個單位，然後用畢氏定理就可以了。

再看看題解裏，那些線段長度，AB:BC:AC，剛好就是1： 2 ： 3，那樣三點的位置也就明顯了，A點和B點是在正方體其中一面上相鄰，而B點和C點在正方體一面上是對角，C點則是距離A點最遠的頂點。看着題目，了解到這裏，正方體上三個頂點的位置也就明白了。

另外也可以探索一下題目的條件，比如問起平常正方體上三個頂點的坐標，是不是就計得出中心來呢？這個找中心的問題，背後有個更基本的問題，就是這個正方體是不是只有一個？這個也不是必然的，比如三個頂點的坐標，剛好就在正方體同一個表面上，那樣三點也只能決定這個表面的位置，可能的正方體卻有兩個，中心也有兩個。

究竟在正方體的八個頂點中，知道哪三點的坐標，才可以決定得了那個中心的位置？這個問題，有興趣的讀者也可以想想。

題目裏的條件，比如三點坐標都是整數，這也不是隨便可以作出來的。開始時找第一點，有整數的坐標可以隨便找，第二點若是隨便找個整數坐標，也還可以的，到了第三點的限制就多了，可能坐標會出現根式。

對高中生來說，沒去沿着一些很複雜的思路做，而是懂得發現正方體頂點之間線段的關係，就非常好。能夠知道什麼樣的條件可以找到三點的整數坐標，又能決定了唯一的中心，已經算是高水平。

要是學生喜歡思考多些，可以想想上邊推廣的問題，雖然不延伸思考，做完題目，想輕鬆一點也可以，但有些人喜歡做多幾題，有些人則喜歡在每一題裏看多點東西。若是身邊的教材比較少，可能就要考慮在一題裏，怎樣學到更多知識。

◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

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