【奧數揭秘】幾何級數求和

解題之中，大致都是用上幾何級數求和公式，之後用上二次公式和積公式，那就得到了答案，關鍵在於，開始時要懂檢查求和公式的條件。

初學幾何級數，學無限項求和的公式時，一下子套用上去求和，解出題目。之後遇到類似習題，自己覺得不斷套公式都管用，於是漸漸遺忘了公式裏那句不易留意到的條件：公比要在之間。許多時候套用公式前沒檢查公比大小就開始解題，這當然是粗疏的。

以此題為例，公比就是那個兩根，裏邊雖然有根式，但是這裏分母比較大，很容易就知道分子小於分母很多，所以在估算上也是輕鬆的，前提是要注意那個的條件。

這些細緻的條件，練起來多數容易遺漏，都是因為初時總要教一些常見的應用，就是所謂大路的東西。於是有十幾二十道習題都是設計為用了公式就能解出，其條件自然都是在合適應用範圍內的。要是習題從剛開始學習時就設計檢查應用條件的「陷阱」，那對於大部分學生來說，練習時可能就有迂迴的感覺。

如若未學懂普遍的應用就考核範圍外的情況，學生恐怕也難以很快看到那個公式的應用價值。就學習動力而言，一個公式能讓學生見到題就懂套用，計到了從前計不到的數，公式用起來簡便快捷，魅力才可以突顯出來，學生自然有動力去學習。若是把心思放在先檢查條件上，學生未見到價值就先要繞彎，開始時動力可能會弱些。

數學學習這回事，學理上有邏輯先後，但始終難免要顧及人的學習動力的問題。大概而言，人們喜歡見到事情有用才去學，而不是繞彎了半天，未見到用處卻還要去刻苦學。這跟平常人學習的邏輯順序有點相違，總讓人覺得不太自然。

數學有時學起來理論結構精細，也難免有時未見到價值就要把一些基本功學好的情況。事實上，自學時書本裏能把邏輯講得精準仔細，也不容易。也難以苛求書本把定理定義各部分的價值先陳述出來再學，這有些不切實際了，不太可行。

在中小學的數學學習裏，由一些具體的例子彰顯定理公式價值，然後普遍化，再由一些特例說明這公式的限制，同時引入適用範圍的條件，那樣看着條件、公式和例子，整體感覺就自然了，也不至於太影響學習動力。要是總順着邏輯結構學，難免有點迷惘和生澀。長遠可能結果還是一樣的，但過程中感覺好些，也是一種進步。

◆ 張志基

◆ 香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。