【奧數揭秘】特殊三角形上的邊

這次的幾何題中有些特殊三角形，也要去找一些邊的表達式，有點趣味。

上邊解題時，先作延長線，構造出相似於△ABD的三角形，從而各邊之比相同，又發現△BCE是特殊的直角三角形，就是各邊之比為1:2:[3]　那一種，於是做起來，只需要把△CED各邊用上同一個未知數來表示，就能找到解這未知數的方法，從而聯繫到DC的表達式，之後就順理成章找到答案。

這題的難處還是在加輔助線。若是沒BD的話，選擇去AB，然後找一點H，使得CH⊥AH，都是一個好選擇，也會有相關的相似三角形，用得上以上所述的特殊三角形性質。

這裏加輔助線時，要先留意到3-4-5這個長度組合，是個常見的直角三角形，然後在直角邊的延長線上找個直角，就容易構造出相似三角形，而剛好目標的邊DC，又可以成為這三角形的一邊，所以為什麼構造△CED，其實有跡可尋，而不是隨便嘗試。

在處理△CED各邊時，用到比例常數，直下就設成是3x、4x和5x，那樣就可以只用一個未知數來表達三條邊，即使之後要解方程，也知道有一條方程就夠了。要是沒這點心思，把各邊設成是a、b和c，之後才聯立幾道方程，才可以消去兩個未知數，那樣做起來就遠遠複雜多了。

之後就到∠DBC = 30o，用上特殊三角形的各邊之比，題解中用tan，但在這特殊三角形來說，直接了解各邊之比為1:2:[3]　，應用起來比較方便，也不用提及三角函數，寫起來也簡潔些。

題解中算出5x那一行，有個有理化的步驟，就是把分數的分母化成整數。有理化在初中學習時，未必會用到這個較複雜的方法，即恒等式(a + b)(a - b) ≡ a2 - b2的做法，一般要到挑戰題階段才會遇到。

上邊寫的各樣事情雖然瑣碎，但連結後像題解那樣寫出來，又挺簡潔。有時奧數題做多了，就會練到許多小技巧，令到解題簡潔起來。簡單地說，比如平常學生設未知數為x，那奧數較好的就會順着運算的可能變化，會設未知數成3x或是[x][2]　之類，令之後化簡時避免了分數加減的複雜情況，或者在消去時比較方便等。◆ 張志基

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