這次的幾何題中有些特殊三角形,也要去找一些邊的表達式,有點趣味。

上邊解題時,先作延長線,構造出相似於△ABD的三角形,從而各邊之比相同,又發現△BCE是特殊的直角三角形,就是各邊之比為1:2:[3] 那一種,於是做起來,只需要把△CED各邊用上同一個未知數來表示,就能找到解這未知數的方法,從而聯繫到DC的表達式,之後就順理成章找到答案。

這題的難處還是在加輔助線。若是沒BD的話,選擇去AB,然後找一點H,使得CH⊥AH,都是一個好選擇,也會有相關的相似三角形,用得上以上所述的特殊三角形性質。

這裏加輔助線時,要先留意到3-4-5這個長度組合,是個常見的直角三角形,然後在直角邊的延長線上找個直角,就容易構造出相似三角形,而剛好目標的邊DC,又可以成為這三角形的一邊,所以為什麼構造△CED,其實有跡可尋,而不是隨便嘗試。

在處理△CED各邊時,用到比例常數,直下就設成是3x、4x和5x,那樣就可以只用一個未知數來表達三條邊,即使之後要解方程,也知道有一條方程就夠了。要是沒這點心思,把各邊設成是a、b和c,之後才聯立幾道方程,才可以消去兩個未知數,那樣做起來就遠遠複雜多了。

之後就到∠DBC = 30o,用上特殊三角形的各邊之比,題解中用tan,但在這特殊三角形來說,直接了解各邊之比為1:2:[3] ,應用起來比較方便,也不用提及三角函數,寫起來也簡潔些。

題解中算出5x那一行,有個有理化的步驟,就是把分數的分母化成整數。有理化在初中學習時,未必會用到這個較複雜的方法,即恒等式(a + b)(a - b) ≡ a2 - b2的做法,一般要到挑戰題階段才會遇到。

上邊寫的各樣事情雖然瑣碎,但連結後像題解那樣寫出來,又挺簡潔。有時奧數題做多了,就會練到許多小技巧,令到解題簡潔起來。簡單地說,比如平常學生設未知數為x,那奧數較好的就會順着運算的可能變化,會設未知數成3x或是[x][2] 之類,令之後化簡時避免了分數加減的複雜情況,或者在消去時比較方便等。◆ 張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

◆香港數學奧林匹克學校