這次講一道解方程的題目。

解題過程中，先找括號內x - 1和x - 5的平均數，然後得出x - 3，設為a，之後展開a相關的4次方程，會消去許多a的單數次方的項，得出一道簡單的4次方程，又可化為變化後的二次方程，之後就得出解。

上面的例子中，第一步就把未知數變了樣，要是沒這樣做，一開始就變成括號展開，那係數就不太整齊，由常數項到一二三四次方都有，分解時想先觀察整數解，係數也挺大的，不太容易。

事實上，看過上面的過程，就會知道即使可以分解，還是複雜到不得了。

把未知數變成a之後，a與2之間的和與差取4次方，展開時就會消去許多項。簡單一點說明，例如平常用二項式定理，展開(a + 1)⁴，係數就會分別為1, 4, 6, 4, 1，要是展開(a - 1)⁴，係數就會分別為1, -4, 6, -4, 1，若果兩者加起來，正負相反的項就會互相抵消。正因為最後只剩下4次、2次和常數項，才有最後一步，可以化成一元二次方程的做法。

題目較巧妙的地方，都是集中在開始時把重點轉成a = x - 3那一步裏面，之後大概都是高中時學到的一元二次方程變化。奧數來說，如果在入門階段，還算是較難的，不過要是課內的知識練得熟了，再試多一會，也是可能做到。在一些數學競賽裏，這題的技巧已經屬於個人賽最後一題才會出現。

以問題的形式來說，類似技巧應用在代數式上時，代數式要有相同次方的兩個括號，括號內的代數式還要比較相近才行。明白了大概是這個樣子之後，還要自己寫幾道類似的題目來練習一下。若是較高次方的情況，雖然展開後，未必可以化成一元二次式那麼簡單，但仍可以把次數下降許多。

看着這道題，要是把次方改得大一點，固然多了點變化，但變化也是有限的。始終奧數只能人手計算，再高次方的話，分解起來就會困難，計算過程就過分複雜了。要保留這點技巧當中的趣味，都是三四次方左右就可以了，再高就太麻煩。這點趣味到了，再改動起來，變化的空間也不大，與其鑽研下去，倒不如去看看其他問題。

題目做起來，硬要說得到什麼經驗，可以說一道看似複雜的多項式，也可能在一些良好的代換之中，可以把次方大幅下降。這個想法並不只是奧數題中的趣味而已，即使是較複雜的數學算式，就算可以用計算機或電腦，要是能大幅簡化算式，對計算也是有益處的，可以減省許多計算時間。

◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

◆香港數學奧林匹克學校