奧數揭秘：加輔助線的難處

這次來談一道幾何題，說說輔助線的問題。

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解題中的關鍵，就是把斜線BF作出相關的直角三角形，然後由畢氏定理的關係作聯想，探索相關的直角邊。那些直角邊，都是可以由中點定理和截線定理，跟其他邊連上關係的。沿着這樣的思路探索，答案就漸漸浮現出來。

這道題若是出現在課內數學裏，可能會變成探索角度，聯想三角函數之類。只是奧數題不能用計算機，於是也不會去思考三角函數。做起來，較難的地方是加了些輔助線，如果學生平常沒練習的話，要加一兩條有用的也不容易。

說起輔助線這回事，課程內的問題也會有一點，只是很難會多，因為輔助線加起來，真的沒什麼定式可以一板一眼地學。本身學幾何，做起來，即使很勤力，進步也很慢，分數難以很快很明顯地提升，於是幾何想學得好一點，做個證明夠嚴謹，已經夠難。若果要求學生去練習多加幾條輔助線，在挫折中前進，對大部分學生來說是近乎不可能的，最多只適合分數可以穩拿八成那些，才可以撐得了一陣子，其他都很快就會放棄。

這些問題，就挺適合在奧數的訓練中好好鍛煉一下。學生若是能拿到八成分數左右，自信也多數是夠的，只是不知道問題還可以有什麼變化。興趣大概足夠把一些較難的題目想多一會，比如十多分鐘左右，只是對於沒明顯思路的、變化大的題目，就容易被陌生感嚇到。

幾何題裏，添加輔助線經常都是帶着疑惑去嘗試的，就是做了許多年數學題，連加起來都加對了，做到了，反省起來，也是說不出自己怎樣想出來的。勉強要說一點心得，也好像太空泛了，還是自個兒去鍛煉，才會明白箇中的滋味。

這樣談加輔助線，會不會顯得沒什麼用處呢？因為好像沒什麼經驗可說似的。這個就要談談老師說什麼才有效幫助到學生的問題了。要是想法一板一眼的，示範了，學生跟着做，就會學得快；若是有題型的，也就抓題型；要是綜合題，大概也可以說策略。到了變化再大一點，就可以說一些聯想的線索、探索的方法、數學解難的思想技巧之類。

變化愈大的東西，能教的也愈少，說出來的心得，也是愈抽象的。

至於添加輔助線，筆者也曾成長過，就只是平常做着數學題，隔些日子，回看時發覺強了一點那樣，看不出什麼先兆，也沒什麼特殊的突破方法。

◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。