這次的題目，有階乘的概念，符號就是「!」，比如5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5，也就是由1開始逐個數數到5，把各數乘起來的結果。這些數一般都是很大的，平常的計算機很少能做到100!，因為那樣的數已超過了150個位，平常的計算機許多都只有99個位。這樣要了解這些結果的各位數，會不會很困難？今次的題目也就提到這個。

問題：試求1! + 2! + 3! + ... + 2010!的十位數。

答案：觀察到當中一直發展下去時，比如到了6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6那個項，就有5和2作為因數，於是會有10作為因數，從而會想起，只要那個項裏，有5和2作為因數的話，乘起來就有個0在該項的右方，比如6! = 720，或者是5! = 120之類。

這樣看來，到了10!的項，就有兩個5和2作為因數，於是這個項之後，都至少有兩個0在右方，不會影響之前的項加起來的十位數。

也就是說，整個數的十位數，只跟1! + 2! + 3! + ... + 9!有關。這些數仔細加起來，單看個位與十位的話，就是1 + 2 + 6 + 24 + ...20 + ...20 + ...40 + ...20 + ...80 = ...10。

因此十位數是1。

解題過程中，主要是留意到哪些十位數不需要計算很多個項才知道。懂得分解每項的因數出來，就會發現5和2作為因數，會特別地影響到該項有多少個0在右方。簡單來說，就是到了第十項或之後，就不會再影響到十位數了，於是計法就很簡單。

問題當中，由於階乘的結果多數大到難以計算，尤其是奧數裏不能用計算機，於是往往令人困惑，究竟如何了解這麼大的數，各個位是怎樣。這點迷霧之中，可以先由清晰的部分開始想，就是先由簡單的頭幾個項開始了解，那樣就漸漸找到了線索。

事實上，數學解難之中，其中一個重要的技巧就是在遇到一些數字很大的情況時，先用數字小的去了解規律，然後嘗試把策略推廣到數字大的情況上。比如題目裏的2010!的項，數字大得很，那樣就先由5!開始，那樣至少可以連準確值都算得出來，規律就清晰可見得多。又或者，調整一下問題，先去問個位，那樣就更快看到規律來。

看數學題目，有時也有詳解，但多數題解都寫得比較精巧，邏輯上固然是準確的，但怎樣想出那個答案來，或者在嘗試的階段，如何有一點較豐富的想法，這些都比較少在詳解之中提到。

解題的難處，往往是未有答案之時，怎樣加深對題目情景的了解，在嘗試中怎樣可以多點策略。這些可能只是零碎的想法，或者聯想之中，有些可能的關係，又有待證實。

在猜想、證明與反證之中，會增添了對題目的認識，有時未必可以完全解決得了整個問題，但可能可以解決一些特殊的情況。或者也可以在增減一些條件之後，解決了另一些類似的問題。

做題目的過程中，做得到有成功感是好的，未解到時，就代表當中隱藏了一些自己未想通的事，在看詳解的時候，就會令自己想通多一點，這是能力增長的原因。即使沒看答案，也能累積到各樣嘗試之後猜想的結果，這也有助解決其他問題。若果夠勤力，態度夠好，日子久了，累積的東西也會有些部分突然豁然匯通起來，能力也會有跳躍式的增長。這點經歷，也是很多勤力的人的經驗之談。

要是有時未找到什麼好方法去學數學，或者解難，那就先找些相關的東西，勤力一陣子，也是好的。

◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

◆香港數學奧林匹克學校