這次談一道方程的一些系數之和，需要一些根與系數的知識。
問題：三位方程x3 + bx2 + cx + d = 0之中，各系數皆是非零整數，且方程有三個不同整數解。計算S = |b| + |c| + |d|的最小值。
答案：若|d|為1，根據系數與根的關係，三根之積為1或-1，由於三根皆為整數，必有重複的根為1或-1，不符合三根不同的條件。
若|d|為2，則三根之和為2或-2，三根為{-1, 1, -2}或{-1, 1, 2}。
若三根為{-1, 1, -2}，則-b = -1 + 1 - 2 = -2，得b = 2；又有c = -1 × 1 + (-1)(-2) + 1 × (-2) = -1。這情況有S = 2 + 1 + 2 = 5。
若三根為{-1, 1, 2}，則-b = -1 + 1 + 2 = 2，得b = -2；又有c = -1 × 1 + (-1)(2) + 1 × 2 = -1。此時也有S = 2 + 1 + 2 = 5。
因考慮|d|為1或2時，找到S最小值為5的情況，而|d|為3或以上的時候，S ≥ 5，故此得知S最小值為5。
解題過程中，按着常數項絕對值由小至大地分析，看看各情況下，三根之積推論出來的三個根，分布是怎樣，再看對於其他系數有什麼變化，這樣就找到了一些符合的情況。由於這些情況裏，推論出的S值都很小，若常數項的絕對值再大些，就會令S值超過了之前的情況，於是就能確認了S的最小值。
一開始解這題時，見着三次方程，然後又找系數的絕對值之和，還要求最小值，還真的未必想到該如何入手。不過既然談起最小值，那麼嘗試起來，就可以用些簡單數字看成是根，嘗試代入方程，找找系數，那即使未知道最小值是多少，也至少知道它不會超過哪一個數。
在嘗試的過程中，要找簡單的數字，其實也很容易想到試1、-1和2之類的，始終這些數字比較小，會是優先嘗試的選擇。難的是找到了S可以是5之後，怎樣確定它真的是最小。
老實說，如何確定S的最小值為5的過程，在這些計算題之中，未必能考核到學生是否真的掌握到相關推論方法，如果學生思想粗疏，把特例的結果看成是最小值，也會找到5這個答案。在學奧數的過程中，面對着計算題，態度上是要找個嚴格的推論過程，去考慮所有可能的情況，然後找到答案，才是正確的方向。
計算題可以令學生做錯數時，有簡單的方法去查核，方便快捷，只是推理做錯了，碰巧做到答案，也難以找出錯在何處。要是做證明題，其實也有這樣的問題。若要另有師長去幫自己檢查，所需要的條件就多了。
長遠來說，學生想有成長，還是要自己端正思考的態度，務求找到一個嚴格的方法，才是正確的方向，不管是計算題還是證明題，都是這樣。即使有時難免有漏洞，但做法還是大致正確的。
證明題與計算題的優劣之間，要談也可以有很多方面，只是這裏一千多字的文章，也只能分享一些零碎的經驗，不能長篇大論地談優劣。從學生的角度來看，面對問題時，找個能對自己有益的學習方式，不去逃避困難，力求避免草率的想法，才是幫得了自己。
奧數裏自學的時間很多，很多書要自己看，態度差一點點，日子久了，效果就差得遠了。若是有誠意去學好，就要有恒心去鍛煉自己的思考質素，輕率地只求答案表面正確，沒去深究推理過程，是不可取的。◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
◆香港數學奧林匹克學校
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