【奧數揭秘】徘徊在算式之間

這次的問題，是在簡單的等式之中，有些未知數之間的關係，也可以想想怎樣把各數的關係梳理得整齊一點才去解題，看看有沒有些較有系統的想法。

問題：設a, b, c, d, e為不同的整數，各數取自-9，-8，-7，…，7，8，9之中，滿足以下各等式，求a + e的最小值。

a - b = 2

c - b = -3

c - d = 4

e - d = -5

答案：由第二式與第三式，得知b = c + 3及d = c - 4。分別代入第一式與第四式，得a = c + 5及e = c - 9。各數以c表示後，已知e為最小數，可取最小值-9，得c為0，而a則是5。因此a + e的最小值為-9 + 5 = -4。

解題過程中，先把各數以c表示，然後在比較大小時，明白最小的數是多少，再找到相應的c值，然後各數就可以求到了，也容易在驗算中確認答案是否正確。

這解題過程看來有夠簡單，但若開始時沒方向，就很容易走去移項，一時用了a做主項看看，又找個d做主項看看，這樣表示起來，也有許多不太一致的形式，於是就難以看到，哪個數是最小，從而要找問題中那個最小值，也有困難。

在嘗試時，也有方法可以知道數字大概的大小分布是怎樣的，比如把其中一個未知數隨便代入一些數，比如代入0，那各個數之中，就會有個具體的值，或許有時會超過了範圍，但反覆代入一兩個容易計算的值之中，也會看到大概各數的大小分布。這樣開始思考，也容易想到如何比較各數大小的問題，於是想起以同一未知數去表示各數，這樣想起來，過程就顯得自然了。

當然，最好是一開始就想起四道算式解不了五個未知數，但用其中一個來表示其他卻是可以的，那就可以直接見到各數的大小次序。

這一題在奧數入門時做一做是好的，因為題目看來有點陌生感，看樣子也能做幾步看看，所以能夠引起學生嘗試的動機。

有些奧數題一下子就把初學者的信心打沉了，看着就令人思想一片空白，見着就會怕，未必適合初學者去做。當然，能耐得住難度，逆流而上，也是一種鍛煉，只是益處未必那麼明顯，也未必比由淺入深的好。

做陌生的題目時多少會繞一下彎，比如推論的過程中，反覆代入各樣算式之間，因為未弄清哪幾道算式是互相獨立的，於是推論出一些類似0 = 0之類的多餘結果來。這些也會令學生在反省之中，問起哪些算式是互相獨立的問題，加深了學生對方程組的理解。

初初遇上一些陌生的難題時，其實未找到好方法之前，有個階段是被難題嚇到亂了套的，對自己推論的步驟半信半疑，久不久在心思忐忑之中，推論裏就錯了些平常信心足夠時很少錯的東西。

到面對陌生題目時，仍能平淡地面對，推論之中也沒出錯，解難的能力已經有些好的基礎。要是在解難中呈現了一點策略上的方向感，題目就會變得簡單易處理，以中學生的水平來說，已經不錯了。

◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

◆香港數學奧林匹克學校