這次嘗試找一些特殊形式的數之中,最小的一個,看看有什麼好的想法。

問 題:若果一個正整數剛好有四個正因數,則稱為「好數」。找出最小的n,使得n、n + 1和n + 2都是好數。

答 案:留意到n、n + 1和n + 2是連續三個數,若果當中有個是4的倍數,那樣該數至少有1、2和4三個正因數,若果是好數,則第四個正因數必然是2 × 4 = 8。檢查一下8附近的7和9,都知道不會是好數。推廣一下8這個情況,就是一個質數的3次方的形式,下一個類似的是33 = 27,檢查一下附近的25和28,都不是好數。下一個就是53 = 125,看來比較大,有需要再檢查。

剛才提到4的倍數,必然是8才是好數,但又未能符合條件,所以這連續三個數,必然是4k + 1、4k + 2和4k + 3的形式,當中k是整數,而中間的是雙數,有正因數1和2。

由中間的數開始試2 × 3 = 6,有正因數1、2、3和6,是好數,再檢查附近的5和7,都不是好數,得知6不是中間的數。也在檢查6的過程中,留意到好數其中一種形式,就是兩個質數相乘的形式。

再嘗試2 × 5 = 10、2 × 7 = 14,2 × 11 = 22、2 × 13 = 26、2 × 17 = 34,這些數當中,檢查該數前後一個數,只有33、34和35的情況,才符合3個數都是好數的條件。

因此答案是33。

題解中,主要是觀察到4的倍數不可能是連續三個數之中任意一個,又知道這些好數的形式只能是一個質數的3次方,或者是兩個質數的乘積,於是明白到三個連續數中間的數是雙數後,逐個試,再檢查附近的數就可以了。

上邊的題解提過怎樣才能知道好數只有兩個形式,這個仔細想來也挺簡單,若果質因數只有一個,就知道必然是3次方,也就是a3的形式,正因數有1、a、a2和a3。若果質因數只有兩個,也就是pq的形式,正因數有1、p、q和pq。要是質因數有3個,配搭就太多了,會超過四個正因數。

這個只是其中一個想法而已,另外也可以想起連續三個數,總有個3的倍數,這個3的倍數至少有正因數1和3,然後再試試3的3次方,或者3乘以其他質數,也可以很快試出33來。

在題目裏定義一些特殊形式的數出來,是數學競賽裏常見的做法,有時是想學生明白符合這些條件的數是什麼形式。事實上,一些數論的問題在各樣條件之中,限制數字的形式,計算起來時往往有很多奇妙的效果。比如剛才題解裏知道了中間的數是雙數,也就找到了1和2兩個正因數,知道了一些有用的資訊。

平常的數學裏,較少把數字的範圍定在正整數之上,也極少需要發現當中有什麼特別的形式,這些都是在奧數的鍛煉之中才會見到的。

這些形式,很難說是易不易知道,初遇時可能覺得陌生,但看幾次豐富想法之後,很多時候都能很順利地做出來,也不見得有什麼一板一眼的公式,可以依着就做得好。這點難處也是趣味的一部分。

◆ 張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

◆香港數學奧林匹克學校