這次嘗試找一些特殊形式的數之中，最小的一個，看看有什麼好的想法。

問 題：若果一個正整數剛好有四個正因數，則稱為「好數」。找出最小的n，使得n、n + 1和n + 2都是好數。

答 案：留意到n、n + 1和n + 2是連續三個數，若果當中有個是4的倍數，那樣該數至少有1、2和4三個正因數，若果是好數，則第四個正因數必然是2 × 4 = 8。檢查一下8附近的7和9，都知道不會是好數。推廣一下8這個情況，就是一個質數的3次方的形式，下一個類似的是33 = 27，檢查一下附近的25和28，都不是好數。下一個就是53 = 125，看來比較大，有需要再檢查。

剛才提到4的倍數，必然是8才是好數，但又未能符合條件，所以這連續三個數，必然是4k + 1、4k + 2和4k + 3的形式，當中k是整數，而中間的是雙數，有正因數1和2。

由中間的數開始試2 × 3 = 6，有正因數1、2、3和6，是好數，再檢查附近的5和7，都不是好數，得知6不是中間的數。也在檢查6的過程中，留意到好數其中一種形式，就是兩個質數相乘的形式。

再嘗試2 × 5 = 10、2 × 7 = 14，2 × 11 = 22、2 × 13 = 26、2 × 17 = 34，這些數當中，檢查該數前後一個數，只有33、34和35的情況，才符合3個數都是好數的條件。

因此答案是33。

題解中，主要是觀察到4的倍數不可能是連續三個數之中任意一個，又知道這些好數的形式只能是一個質數的3次方，或者是兩個質數的乘積，於是明白到三個連續數中間的數是雙數後，逐個試，再檢查附近的數就可以了。

上邊的題解提過怎樣才能知道好數只有兩個形式，這個仔細想來也挺簡單，若果質因數只有一個，就知道必然是3次方，也就是a3的形式，正因數有1、a、a2和a3。若果質因數只有兩個，也就是pq的形式，正因數有1、p、q和pq。要是質因數有3個，配搭就太多了，會超過四個正因數。

這個只是其中一個想法而已，另外也可以想起連續三個數，總有個3的倍數，這個3的倍數至少有正因數1和3，然後再試試3的3次方，或者3乘以其他質數，也可以很快試出33來。

在題目裏定義一些特殊形式的數出來，是數學競賽裏常見的做法，有時是想學生明白符合這些條件的數是什麼形式。事實上，一些數論的問題在各樣條件之中，限制數字的形式，計算起來時往往有很多奇妙的效果。比如剛才題解裏知道了中間的數是雙數，也就找到了1和2兩個正因數，知道了一些有用的資訊。

平常的數學裏，較少把數字的範圍定在正整數之上，也極少需要發現當中有什麼特別的形式，這些都是在奧數的鍛煉之中才會見到的。

這些形式，很難說是易不易知道，初遇時可能覺得陌生，但看幾次豐富想法之後，很多時候都能很順利地做出來，也不見得有什麼一板一眼的公式，可以依着就做得好。這點難處也是趣味的一部分。

◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

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