【奧數揭秘】28個因數

這次的題目要一點質因數分解的知識，數學基礎達到高小或以上，大概就可以嘗試一下。

問 題：設k是S = {1, 2, 3, ... , 30}這30個正整數的最小公倍數。問有多少個k的正因數，能剛好被S裏的28個整數整除？

答 案：先找出k的表達式，大致來說，就是小於30的質數乘起來，然後各自有幾次方。具體而言，就是k = 24·33·52·7·11·13·17·19·23·29。

這樣的k能被全部30個整數整除，若果只能剛好被28個整數整除，就要把k裏邊一部分的質因數抽走，而抽走的部分，剛好令k少了兩個因數。

嘗試抽走其中一個質因數，看看影響，比如抽走23，那麼23就無法整除餘下的24·33·52·7·11·13·17·19·29，但其餘的29個整數，抽走29、23、19和17，都有類似的效果。

繼續看下去，會發現抽走13的話，k的因數裏會少了13和26 = 2 × 13，少了兩個因數，跟之前有分別，而抽走11時，也會少了11和22 = 2 × 11兩個因數。

抽走7的話，就會少了7，14 = 2 × 7，21 = 3 × 7和28 = 4 × 7共4個因數。

抽走1個5的話，那麼餘下的數就是24·33·5·7·11·13·17·19·23·29，因數只會少了25 = 52，其餘的因數還是一樣共有29個。而抽走1個2或3，情況都類似。

於是，若在k中抽走1個2, 3, 5, 17, 19, 23或29，都會少了一個因數，令到餘下的數只能被S裏的29個整數整除。而抽走11或13的話，就會一下子少了兩個因數，餘下的數只能被28個S裏的整數整除。抽走7時少了4個因數，無需考慮。

故此，k因數當中，要剛好能被28個S裏的整數整除，有兩種做法，一是由2, 3, 5, 17, 19, 23或29共7個數之中，任意拿兩個數抽走，或者是11和13之中抽走其中一個。

因此，那樣的因數就是個 [7 × 6][2]　 + 2 = 23。

題解裏先找到k的表達式，才在當中的質因數裏抽走其中一個，看看對餘下的因數個數有多少影響，從而得到如何抽取質因數才找到題目要求的數的線索。過程中，一下子很順利地找到k的表達式，對於平常學生來說，可能就要花點時間，若果看得通，就會知道大致都是由30或以下的質因數的次方構成，那就看得比較快。

到了嘗試尋找剛好只能被28個S裏的整數整除的因數時，也未必會很順利，有時會想起用另外一些方式，嘗試去構造那種數出來，而沒有順着k的表達式來調整、拿走一部分。到想到把k的質因數拿走一點看看，也容易過早歸納，看漏了7這個質因數有點麻煩，一下子會令k少了4個因數。

奧數題目由於是非常規題目的關係，順着平常的思路時往往會遇上許多麻煩，從而令人的思想要脫離原本的思路，才會明白到需要有新想法，從中得益。

有時順着大路會令思考一片空白，或者看來很麻煩，或者看來很容易，一做下去又會有很多漏洞；訓練後空白處會多了色彩，麻煩處多了簡潔的想法，思想的漏洞也會補上了，學奧數的價值就在這裏。◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

◆香港數學奧林匹克學校