【奧數揭秘】坐標上的三角形

這次談的問題，關於一個三角形內的角度，引入了一些坐標幾何的想法，從而得到許多簡化效果。當中的坐標幾何知識，都是一些斜率和直線方程之類，大概高中左右就會學到，而奧數就屬初中水平。

問 題：在△ABC中，AB = AC，∠A = 90o，過A引中線BD的垂直線與BC交於E，求證：∠ADB = ∠CDE。

答 案：設定直角坐標系，原點為A，AC和AB分別在x與y軸之上。把圖形按比例放大或縮小，令C點的坐標為(2,0)，從而B點為(0,2)，又得D點為(1,0)，如圖一。

明顯BD的斜率為-2，因此AE的斜率為[1][2]　，方程為y = [1][2]　x，故此E可表示成(2p,p)，其中p是實數。

BC的方程為y = -x + 2，代入E點，得p = -2p + 2，因此P = [2][3]　，即E的坐標為([4][3]　,[2][3]　)。

由此得知ED的斜率為[2][3]　[ [4][3]　 - 1]　 = [2][4 - 3]　 = 2。而之前已知BD的斜率為2，故此有∠ADB = ∠CDE。

題解中大致來說，就是引入坐標、斜率和交點坐標，然後找另一條線的斜率，策略聽來有夠簡單，但當中也需不少技巧，才能簡化計算。

比如開始時設C點的坐標，是沒有把它當成是(a,0)，那樣就有個未知數a，計算起來又多了代數運算的功夫。觀察到題目裏沒有固定的長度資料，就可以用放大縮小的方法，把C點的坐標設為(2,0)，用了數字就簡單多了。而用(2,0)為C，則D可以用(1,0)，兩個x坐標都是正整數，數字看來就整齊了。否則若是把C當成是(1,0)的話，D點的坐標就會有分數。

BD的斜率，說穿了就是向左水平走一格，就會上升兩格，故此斜率明顯是-2。跟這條線垂直的，就是跟-2乘起來時，是-1的那個數，就是[1][2]　。

OE就是穿過原點的，於是方程裏就沒常數項，只是y = [1][2]　x。用上參數式來表示E，即(2p,p)，那樣坐標有了特定形式，又只有一個未知數，運算起來就方便多了。再留意到BC的方程，很容易就知斜率是-1，y截距是2，也會得到直線方程為y = -x + 2，把E的參數式代入，就找到p，繼而找到ED的斜率。之後提到ED的斜率跟BD的正負相反，結論就很直接了。

剛剛寫的幾段，解釋了題解中為什麼把數字設定成那樣，為什麼許多計算會直接寫出來，為什麼那麼明顯，又為什麼E又要用參數式之類。這些看來瑣碎的想法，這裏簡化一點，那裏簡化一點，加起來就簡單了許多。這些都要靠着平常解題時累積經驗，才能把數字設得好看一點。有時做得數多，能力高的，只會簡單說「執靚條數，好易計」。至於怎樣執靚，或者怎樣才叫做靚，就要有先見之明了。◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

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