這次談的問題,關於一個三角形內的角度,引入了一些坐標幾何的想法,從而得到許多簡化效果。當中的坐標幾何知識,都是一些斜率和直線方程之類,大概高中左右就會學到,而奧數就屬初中水平。
問 題:在△ABC中,AB = AC,∠A = 90o,過A引中線BD的垂直線與BC交於E,求證:∠ADB = ∠CDE。
答 案:設定直角坐標系,原點為A,AC和AB分別在x與y軸之上。把圖形按比例放大或縮小,令C點的坐標為(2,0),從而B點為(0,2),又得D點為(1,0),如圖一。
明顯BD的斜率為-2,因此AE的斜率為[1][2] ,方程為y = [1][2] x,故此E可表示成(2p,p),其中p是實數。
BC的方程為y = -x + 2,代入E點,得p = -2p + 2,因此P = [2][3] ,即E的坐標為([4][3] ,[2][3] )。
由此得知ED的斜率為[2][3] [ [4][3] - 1] = [2][4 - 3] = 2。而之前已知BD的斜率為2,故此有∠ADB = ∠CDE。
題解中大致來說,就是引入坐標、斜率和交點坐標,然後找另一條線的斜率,策略聽來有夠簡單,但當中也需不少技巧,才能簡化計算。
比如開始時設C點的坐標,是沒有把它當成是(a,0),那樣就有個未知數a,計算起來又多了代數運算的功夫。觀察到題目裏沒有固定的長度資料,就可以用放大縮小的方法,把C點的坐標設為(2,0),用了數字就簡單多了。而用(2,0)為C,則D可以用(1,0),兩個x坐標都是正整數,數字看來就整齊了。否則若是把C當成是(1,0)的話,D點的坐標就會有分數。
BD的斜率,說穿了就是向左水平走一格,就會上升兩格,故此斜率明顯是-2。跟這條線垂直的,就是跟-2乘起來時,是-1的那個數,就是[1][2] 。
OE就是穿過原點的,於是方程裏就沒常數項,只是y = [1][2] x。用上參數式來表示E,即(2p,p),那樣坐標有了特定形式,又只有一個未知數,運算起來就方便多了。再留意到BC的方程,很容易就知斜率是-1,y截距是2,也會得到直線方程為y = -x + 2,把E的參數式代入,就找到p,繼而找到ED的斜率。之後提到ED的斜率跟BD的正負相反,結論就很直接了。
剛剛寫的幾段,解釋了題解中為什麼把數字設定成那樣,為什麼許多計算會直接寫出來,為什麼那麼明顯,又為什麼E又要用參數式之類。這些看來瑣碎的想法,這裏簡化一點,那裏簡化一點,加起來就簡單了許多。這些都要靠着平常解題時累積經驗,才能把數字設得好看一點。有時做得數多,能力高的,只會簡單說「執靚條數,好易計」。至於怎樣執靚,或者怎樣才叫做靚,就要有先見之明了。◆ 張志基
簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。
◆香港數學奧林匹克學校
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