這次分享一道關於三角函數的巧算題，技巧大致上都是和差化積的想法。和差化積，就是sinA + sinB = 2sin[A + B][2] cos[A - B][2] 和cosA + cosB = 2cos[A + B][2] cos[A - B][2] 之類，這兩條算式在以下會用到，另外還有兩條算式，在網上找找「和差化積」就會找到。
解題時主要用和差化積的想法，應用時，若留意到化積之後會有特殊角，化簡時就可以簡潔一點，即使未預見到答案，也可以優先嘗試。事實上，題目裏各個數字，本身也不是什麼特殊角，比如是30、45和60之類，都是要在和差之中找到一點關係。分母的17比較難處理，都是順着探索時，才發覺剛好能約去而已。
這題來說，能把分母的17消去，當然也是題目設計出來的，只是平常想化簡三角函數的話，大致的方向就是去找尋一些特殊角相關的關係。
在學習三角函數的過程中，公式也挺多的，有些是角度大於90度的計算，有些是恒等式的關係，綜合應用起來，要做大量三角函數的化簡。化簡時，若題目的數字有特別設計過，就可能用得上，即使數目沒什麼特別，也可以多少用來估算化簡後的數字是在什麼範圍。
以三角函數的算術來說，在核心課程內，初中高中的變化都比較少，到了高中的延伸部分，三角函數的恒等式才會比較多。算式多了，綜合應用起來，變化又大很多了，即使本身學習速度相當快的學生，也要鍛煉一些時候。以奧數來說，中三左右就會談到這些恒等式，從實際應用中練習。如果想仔細鍛煉當中的算術和化簡的功夫，就要靠自己了。
有時，奧數的學生就是因為沒練好三角函數的算術，令解題時缺少了一大塊知識。比如解幾何題，常要用到角度和三角函數，那些角度的和差，在算術中做代數變形，也是很常見的。
即使基礎夠好，練好了三角函數的算術，要想通那些路徑還是要一番工夫，要是未練的話，連當中的難處也未可以體驗到。即使去上培訓班，嘗試時未有基礎，聽老師講答案時，又未知當中的曲折，還是以為答案幾步做完，對自己的水平就容易誤判了。
三角函數的算術，若果到高中後期才練出來，那也挺難做一些奧數題目，那時高中的奧數已經有很多複雜的變化，要是再由初中奧數練起，又未必夠意志力和恒心，於是那些需要用到三角函數的奧數題，就有一大堆是沒怎樣仔細體驗過的。若是想看一些較難的奧數，還得要早日練好三角函數的算術才行。◆ 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
◆香港數學奧林匹克學校
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