【奧數揭秘】先有心理準備 看書才不迷惘

這次談一談在學習奧數時，怎樣學會閱讀數學書。

問題：若f(x)定義在x為非負整數的範圍內，且f(a + b) = f(a) + f(b) - 2f(ab)，而f(1) = 1。求f(1986)。

答案：設b =1，則f(a + 1) = f(a) + f(1) - 2f(a·1) = -f(a) + 1，故此f(2) = -f(1) + 1 = 0，f(3) = -f(2) + 1 = 1。留意到x是正整數時，函數值f(x)都是順着1，0，1，0，…的發展，其中x為雙數時，函數值為0，故此f(1986) = 0。

在解答的過程中，嘗試找一道遞推公式，知道f(a)與f(a + 1)之間的關係，然後從首幾個函數值當中發現規律，看到a為單雙數時的分別，就找到答案。

平常來說，就算沒什麼頭緒，也可以先找頭幾個函數值看看，比如取a = b = 1，就會有f(2)的出現。再代入a = 2和b = 1，也就有f(3)。用一些具體的數字來找確實數值，再考慮一下普遍的規律，或者有沒有遞推的公式，這些都是比較容易入手的思路。題解裏一開始就有遞推公式的考慮，其實是想問題想通之後，為了說明方便的鋪排，並不是一開始就見到的。

後期省去多餘解題步驟

求解或做證明時，有時會有探索和鋪排證明的階段。探索時把想起的寫下來，這邊試試，那邊試試。好像今次的題目，開始時先試試f(0)是什麼，因為x是非負整數，最小是0。那樣把a和b設為0，就會找到f(0) = 0。找到後才發現，其實x = 0的時候是什麼，對討論結果沒影響，所以在鋪排解題時，就會省去這些多餘的步驟。

看奧數書中例題的題解，或者證明的過程，有時不解的地方並不是邏輯跟不上，而是不知道為什麼下一步是這樣。看着就是無緣無故說了另一些事情，然後推了幾步，才回到原本討論的事情上。

事實上，讀一些較深入的數學書，總會遇上一些定理，尋常直觀的思路是解不了的，解出來的人也不知背後做了多久，繞過多少彎。這也造成後來簡化鋪排之後，證明繞的彎都挺詭異的，好像東說一點，西說一點，繞彎繞了許久，才回到先前討論的事情上。

數理縱橫交錯需時理解

這也是讀數學難讀的地方，有時遇着什麼命題或定理，感到有趣，想了解一下背後的證明，但追尋下去時，講東講西也未講到自己想了解的事，有時定理前又有引理，再之前又一大堆定義，奇特的符號越來越多，興趣就被消磨掉了。數學讀起來，數理就是縱橫交錯的，真要讀得通透，就是要花很多精神時間，沒有看戲看動畫那麼輕鬆。

想了解一些數學的結果，先有心理準備要花點時間，那樣就不會期望很快看得明白。否則看書時，可能會分不清究竟是自己基礎弱，還是內容太難了，迷惘就多了。

到了看書的經驗多了，見到不明白的東西，就知道背後的事理可以很複雜，未必是一時三刻就看得懂，那樣嘗試理解時心就會定一點，不至於打擊自信。

◆ 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。◆香港數學奧林匹克學校