這次談的問題關於一個圓形和一個半圓的面積,也提一提代數應用在幾何題時的一些要點。

問題:右圖中,圓與半圓相切,又與上方的線段相切。半圓的圓心在下方的線段之上,上下兩線互相平行,相距為1個單位。連結兩個圓心的直線垂直於平行線。求圓形與半圓的面積之積的最大值。

答案:設圓的半徑為x,那麼半圓的半徑為1 - 2x。

那麼兩個面積的積P,就是P = πx2 × [1][2] π(1 - 2x)2 = [π2][2] x2(1 - 2x)2。

取根式,化算式為二次方程的最大值問題,於是有

[P]  = [π] [2]  x(1 - 2x) = [π] [2]  (-2x2 + x) = [π] [2]  [-2(x - [1][4] )2 + [1][8] ] ≤ [π][2] [8] 

因此P ≤ [π2] [128]。

解題過程中,設了圓半徑為未知數,然後列出代數式,找最大值,思路本身很直接,轉折的地方在於把P取了根號的部分。平常來說,P原本四次方的形式很複雜,取了根號之後只剩二次,用上述方法就能找到最大值。

在取根號的過程裏,也有些重點要留意︰未知數x是圓半徑,而半圓的半徑是1 - 2x,由於半徑的長度是正數,這個x和1 - 2x都是要大於0的,因此x的範圍是要大於0,又要小於 [1][2] 。

關於x範圍的問題,在上方的題解裏,好像沒什麼影響,但照平常的習慣來看,一旦寫了P = [π2][2] x2(1 - 2x)2,許多時為了避免x的系數為負數,就會把算式化成P = [π2][2] x2(2x - 1)2,這時若仍想去取根號,剛提到x的範圍,以及正負的問題,就顯得重要了。

比如這時把P誤取根式[P]  = [π] [2]  x(2x - 1),那代數開始時看似沒什麼問題,但當發現只能求出最小值時,就自然會問,題目要求的最大值怎樣求呢?之所以出現這個問題,就是因為這時[P] 裏的x(2x - 1)的部分,在0 < x < [1][2] 時,已經是負數。左方根號,右方是負數,就有問題了。

這個x範圍的問題,還有一點要考慮,就是配方法之後,發覺x = [1][4] ,[P] 的算式才會達至最大值,這個算出來的 [1][4] ,是要落在0與 [1][2] 之間才有意義。

開始時把兩個圖形的面積乘起來,用上代數式,想法夠直接,只是化簡時為了避開四次方,要有技巧地取平方根,又要注意未知數的範圍,當中其實有相當多的細節。

學生在運算過程中,未自覺到未知數範圍的問題,順着習慣就避開相關問題找到答案,在他們自學的時候,或許就已經覺得自己懂了。即使寫出來給老師核對,數學上始終是對的,就算老師憑經驗知道學生可能未理解得通透,也很難說他們理解有偏差。於是學生的想法難免就有漏洞了,若果平常在學習過程中,老師能質疑一下各個細節,檢視一下學生常有的漏洞,那樣學問就會堅實一點。●張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

●香港數學奧林匹克學校