這次的題目關於遞推數列，就是比如知道a1 = 2，對於i為正整數，有ai + 1 = 2ai + 3，那麼就會知道a2 = 2a1 + 3 = 2 × 2 + 3 = 7，a3 = 2 × 7 + 3 = 17之類。這些問題，有時在課內的題目，比如多項選擇題之中，也有機會遇到。只是多數學生見到下標之類的符號時，就覺得又複雜又陌生，然後歸類為難的題目。以下就談談一些常見的思路。

題解中展現了這些數列問題的常見思路，就是先在反覆代入遞推公式時，發現當中的規律，然後在題目特定條件中，找到所求數字的相關數值。

在代入之前，其實未必看得出有什麼特定關係，較幸運的情況，可能像這一題一樣，代入兩三次，就回到了先前第一步的a，然後看出隔幾個就會重複。有時則是見到一些較簡單、容易歸納出通項的情況。

題目裏有個條件，就是a3 = a1，這種數列中兩個項有關的情況，通常都會用遞推的條件，推到等式兩邊的未知數一樣，比如今次就是把左邊寫成a3 = [a - 1][a]　 = a。那樣在計算之前，已經知道會計出一些項的具體數字，或至少知道它符合什麼方程式。

即使知道了後來的方程a2 - a + 1 = 0，到了計算a9的時候，也沒答案裏那麼簡單直接。有可能在見到方程時，就想解出來，那樣固然可以用一元二次方程的公式，但答案就沒那麼整齊了，有根式，而所求的a9，次方相當大，展開根式時，情況會變得複雜。

這題來說，方程式會變成a3 = -1，實在是有點幸運成分。若是變成了另一些二次方程，系數沒那麼整齊的，也有個比較簡單的想法，比如把有平方的項放等號左方，a2 = a - 1，那樣a9 = a(a2)4 = a(a - 1)4，就會由9次變成5次，次數低了，計算也容易些。

有時在初中奧數的階段，純粹給定一道一元次方程，計算好像題目裏的a9，就已經是一道難題了。這裏綜合了遞推與降次的想法，而且有發現關係的部分，所以更困難。 ● 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

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