這次的題目關於遞推數列,就是比如知道a1 = 2,對於i為正整數,有ai + 1 = 2ai + 3,那麼就會知道a2 = 2a1 + 3 = 2 × 2 + 3 = 7,a3 = 2 × 7 + 3 = 17之類。這些問題,有時在課內的題目,比如多項選擇題之中,也有機會遇到。只是多數學生見到下標之類的符號時,就覺得又複雜又陌生,然後歸類為難的題目。以下就談談一些常見的思路。
題解中展現了這些數列問題的常見思路,就是先在反覆代入遞推公式時,發現當中的規律,然後在題目特定條件中,找到所求數字的相關數值。
在代入之前,其實未必看得出有什麼特定關係,較幸運的情況,可能像這一題一樣,代入兩三次,就回到了先前第一步的a,然後看出隔幾個就會重複。有時則是見到一些較簡單、容易歸納出通項的情況。
題目裏有個條件,就是a3 = a1,這種數列中兩個項有關的情況,通常都會用遞推的條件,推到等式兩邊的未知數一樣,比如今次就是把左邊寫成a3 = [a - 1][a] = a。那樣在計算之前,已經知道會計出一些項的具體數字,或至少知道它符合什麼方程式。
即使知道了後來的方程a2 - a + 1 = 0,到了計算a9的時候,也沒答案裏那麼簡單直接。有可能在見到方程時,就想解出來,那樣固然可以用一元二次方程的公式,但答案就沒那麼整齊了,有根式,而所求的a9,次方相當大,展開根式時,情況會變得複雜。
這題來說,方程式會變成a3 = -1,實在是有點幸運成分。若是變成了另一些二次方程,系數沒那麼整齊的,也有個比較簡單的想法,比如把有平方的項放等號左方,a2 = a - 1,那樣a9 = a(a2)4 = a(a - 1)4,就會由9次變成5次,次數低了,計算也容易些。
有時在初中奧數的階段,純粹給定一道一元次方程,計算好像題目裏的a9,就已經是一道難題了。這裏綜合了遞推與降次的想法,而且有發現關係的部分,所以更困難。 ● 張志基
簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。
●香港數學奧林匹克學校
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