以下是一道關於三角形的題目,設了些限制條件,看來就變得複雜。
問 題:求出符合以下條件的三角形的數目。
三邊的長度皆為整數,皆小於15。
面積為整數。
至少一個角為30o、45o或60o。
分析:初看時覺得符合條件的三角形好像挺多,至少三邊長度少於15的三角形相當多。不過題目後半多了角度和面積的限制,其實已經篩去了許多可能。那就不妨把一些角度和面積的資訊,用算式連起來,看看可以發現到什麼隱藏的資訊。
答案:考慮面積公式,A = [1][2] ab sin C,當中C為該特殊角,那樣取sin C為主項,得sin C = [2A][ab] ,觀察等式右方,由題目條件得知此分數的分子分母都是整數,是有理數,而當C為45o及60o時,為無理數。故此C只能是30o。
又由餘弦定理,得cos C = [a2 + b2 - c2][2ab] ,再由等式右方分子分母得知cos C需要是有理數,但cos30o仍是無理數,因此符合題目條件的三角形不存在,數目為0個。
題解裏大致來說,就是看到特殊角在取sin或cos的時候,剛好全都有無理數值,而在常見的面積定理和餘弦定理之中,會在移項之後發現這些取值都需要是有理數,計算後發現矛盾,就可知道沒有三角形可以符合條件。
初時看題目,見到三個條件,第一感覺就是很複雜。單看第一個條件,三邊長度小於15,即使有三角不等式的限制,還是有很多,如果打算數幾個出來,就會花掉很多時間。列舉起來的複雜性,是可預見的。
至於面積的條件怎樣用,那大概都要列幾條面積公式出來,然後看看有哪條管用。反正條件裏有邊有角,邊列公式,邊看看算式裏的數字有什麼特性,大概可以多點頭緒。
若果留意到有三邊為整數的條件,加上有一隻角的角度,從而想到用餘弦定理,那樣就會想到cos C是有理數,然後會刪去角度為30o和45o的可能。
大致來說,單獨看三個條件,通常都可以有以上的思路,至於綜合起來,要用多少時間才想得通,就很難說了。
開始解難時,大致上都是嘗試由題目的條件中得到多點資訊,然後從資訊中找出適合的算式,再把算式連上關係。這些綜合應用的背後,要先把題目做得熟練,才會有效果。
奧數的訓練,多數都是做一些綜合應用,只是做多了,學生就可能覺得只有綜合訓練才是好的,從而忽略了一些操練式的直接應用。事實上,數學有些工具是要操練,像小學有算術加減乘除的操練,初中要練解方程和代數式運算,高中延伸部分要練微積分。各程度都有些重要的工具需要練習,然後基礎才會穩,理解其他工具才有好的根底,做綜合應用時才有多些想法。
在解難中訓練思考是好的,而思考背後,還是多少需要一點知識基礎,有許多平實的功夫要做,許多工具要能熟練使用。巧婦難為無米炊,累積多點知識然後思考,比起憑空思考,必定更有效率。● 張志基
簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。
●香港數學奧林匹克學校
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