以下是一道關於三角形的題目，設了些限制條件，看來就變得複雜。
問 題：求出符合以下條件的三角形的數目。
三邊的長度皆為整數，皆小於15。
面積為整數。
至少一個角為30o、45o或60o。
分析：初看時覺得符合條件的三角形好像挺多，至少三邊長度少於15的三角形相當多。不過題目後半多了角度和面積的限制，其實已經篩去了許多可能。那就不妨把一些角度和面積的資訊，用算式連起來，看看可以發現到什麼隱藏的資訊。
答案：考慮面積公式，A = [1][2] ab sin C，當中C為該特殊角，那樣取sin C為主項，得sin C = [2A][ab] ，觀察等式右方，由題目條件得知此分數的分子分母都是整數，是有理數，而當C為45o及60o時，為無理數。故此C只能是30o。
又由餘弦定理，得cos C = [a2 + b2 - c2][2ab] ，再由等式右方分子分母得知cos C需要是有理數，但cos30o仍是無理數，因此符合題目條件的三角形不存在，數目為0個。
題解裏大致來說，就是看到特殊角在取sin或cos的時候，剛好全都有無理數值，而在常見的面積定理和餘弦定理之中，會在移項之後發現這些取值都需要是有理數，計算後發現矛盾，就可知道沒有三角形可以符合條件。
初時看題目，見到三個條件，第一感覺就是很複雜。單看第一個條件，三邊長度小於15，即使有三角不等式的限制，還是有很多，如果打算數幾個出來，就會花掉很多時間。列舉起來的複雜性，是可預見的。
至於面積的條件怎樣用，那大概都要列幾條面積公式出來，然後看看有哪條管用。反正條件裏有邊有角，邊列公式，邊看看算式裏的數字有什麼特性，大概可以多點頭緒。
若果留意到有三邊為整數的條件，加上有一隻角的角度，從而想到用餘弦定理，那樣就會想到cos C是有理數，然後會刪去角度為30o和45o的可能。
大致來說，單獨看三個條件，通常都可以有以上的思路，至於綜合起來，要用多少時間才想得通，就很難說了。
開始解難時，大致上都是嘗試由題目的條件中得到多點資訊，然後從資訊中找出適合的算式，再把算式連上關係。這些綜合應用的背後，要先把題目做得熟練，才會有效果。
奧數的訓練，多數都是做一些綜合應用，只是做多了，學生就可能覺得只有綜合訓練才是好的，從而忽略了一些操練式的直接應用。事實上，數學有些工具是要操練，像小學有算術加減乘除的操練，初中要練解方程和代數式運算，高中延伸部分要練微積分。各程度都有些重要的工具需要練習，然後基礎才會穩，理解其他工具才有好的根底，做綜合應用時才有多些想法。
在解難中訓練思考是好的，而思考背後，還是多少需要一點知識基礎，有許多平實的功夫要做，許多工具要能熟練使用。巧婦難為無米炊，累積多點知識然後思考，比起憑空思考，必定更有效率。● 張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
●香港數學奧林匹克學校
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