【奧數揭秘】遞推關係

今次談談一道關於遞推關係的算式。

問 題：若f(n + 1) = (-1)n + 1n - 2f(n)，其中n為正整數，及f(1) = f(1986)。求S = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(1985)。

答 案：考慮f(1986) = (-1)1986·1985 - 2f(1985)，f(1985) = (-1)1985·1984 - 2f(1984)，如此類推，直至f(2) = (-1)2·1 - 2f(1)。各等式左右方分別相加，由於f(1) = f(1986)，左方為S，右方函數的部分加起來亦是S，全式具體來說，就是

S = 1985 - 1984 + 1983 - ... + 1 - 2S

這裏仔細說明一下，由於-1的各個次方，由最大的1986次起，順着正負正負的次序交替而下。加減起來，兩項為一組，比如1985 - 1984為一組，1983 - 1982為一組，如此類推，各組化簡後為1，共1984 ÷ 2 = 992組，另有一個1，因此各數加起來是993。移項後得知S = 993 ÷ 3 = 331。

題解中，一開始就把n代入成2、3、4、...、1985各個數，然後把各算式加起來，剛好等號左右都有S，然後餘下的又容易算出來，於是移項後，就得到了S。

代入各數不是必然的，平常我們會試着把一些數值代入n，再試一試頭幾個數，比如看看f(2)和f(3)，形式上有沒有跟f(1)有較明顯的關係，或者有些形式可以找通項之類。

代入幾步找規律

談起這個通項，有興趣的讀者也可以探索一下。大致上，代入三幾步，就要找找規律了，由於有-1的數次方，把n為單或雙分開考慮，做起來會比較容易。事實上，即使是要找個f(1)出來，也是頗費功夫的。大概就是要求f(1986)，然後依次代入，找找規律，最後推理到f(1)的一步。當中涉及很多求和的過程，計算相當複雜。不過這樣探索一下是好的，至少令自己知道，那些數字並不是隨便可以設個數就可以化簡得到，而是在算式和條件裏早就決定了，要找的話就要經過一長串計算。

這裏解題時，沒需要找通項之類，但順着平常的思路看看，也是不錯的。奧數題目有時會有較快的方法，可以繞過一些常見的做法找出答案。這樣的設計，令學生找到捷徑時會多點樂趣。只是這樣解難多了，也許會有個誤會，覺得數學題總有個比較簡單的方法，或者普遍解難中，都有個很簡單的方法，這個思想習慣，容易令人失去踏實鍛煉的心思。

數學解難跟一些趣味謎語的分別，在於數學是有比較多基礎知識，需要鍛煉後才可以做到。有時聰明的學生會誤會，以為思考敏捷一點，數學就會好起來，這是混淆了天資與能力。學得快的人，也要學些時候，鍛煉一些日子，能力才會好起來，畢竟潛力和能力是兩回事。

平常在解難中，多一點探索題目中沒有問到的方面，就可以加深了解，從中累積經驗，令之後解難時多了許多小工具、思路和線索。這些跟只看答案的人是有分別的，也是一些數學讀得較好的人，可以想得出奇特思路的一個因素。 ●張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

●香港數學奧林匹克學校