【奧數揭秘】三角形裏的內切圓

這次談的題目，用上圓形切線的性質，比如切線與圓的交點與圓心連起來時，此線段垂直於切線之類。其他仔細的就不多說了，不然把關鍵都說出來，那些想先試試看題目的讀者就會覺得少了挑戰性。

問 題：直角三角形ABC之中，∠C為直角，有內切圓與△ABC相切於T，其中T在AB之上，已知AT = 20，TB = 17，求△ABC的面積。

答 案：由切線的性質得知，AJ是20，BK是17。再由切線的性質，得知GJ垂直AC，GK垂直BC，又因∠C為直角，GK與GJ同為半徑，因此GKCJ為一個正方形，邊長為半徑，設為r，因此KC與JC同為r。

留意到這裏求△ABC的面積時，會有兩個方法，一是用AC與BC作底和高來求面積，二是把三邊各自為底，然後用內切圓半徑r為高，那也可以求出面積。知道這個之後，就可以列出（見圖）：

留意到第二行等號右方的r2 + 37r，就是面積化簡後的形式，而且由第三行得知，此算式等於340，因此面積就是340。

題解時用上了三角形面積的兩種計法，然後在化簡過程中，留意到面積的代數式，剛好就隱藏在關於面積的等式中，是化簡後的其中一部分，從而簡單地做出答案。

初初想起時，可能會留意到GKCJ是正方形，然後看到KC和JC都是圖半徑之後，就想用畢氏定理，把ABC的三邊連上關係，從而解出r，再用面積公式來計出面積。這個是可行的，只是當計出r之後，就會發現數字涉及開方，比較複雜，再代入面積公式化簡時就要花一番功夫，跟上述較簡潔的方式頗有差異。

這道題目當中切線的知識，課程內大概要到高中才教，奧數裏則是中二中三的程度，有時也可能出現在一些較低年班的競賽中。筆者有時看國際賽題目時，發現一些低年級題目包含中學知識，這也許是其他地區的課程與香港有分別，又或是競賽培訓的內容組識有分別。

這些數學課程組織的問題，對學生來說，初時會疑惑，因為他們未知道香港的課程是怎樣，有時遇上不懂的東西，就可能會懷疑自己解難能力未夠。其實，原因可能只是部分的知識未學而已，跟本身解難能力多少並沒關係，只是學生有時未必知道解不到題目的關鍵原因，再加上做不到時多少會有點沮喪，還有些語文能力不足，遇到這些情況的次數多了，難免會懷疑自己的能力。

這些問題，學生在自學時很容易遇上，但只要有老師指導一下，分析出什麼部分是學生解難能力的問題，什麼部分只是知識上的問題，學生就可以較準確地評價自身能力，而不會因為一種模糊的沮喪感，影響了學習的動力。●張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

●香港數學奧林匹克學校