這次談的題目與多項式有關，背景知識也不方便說出來，免得洩露了解難的線索，有興趣的話可以先嘗試一下。

問 題：設P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d，其中a、b、c和d都是常數。若P(1) = 10，P(2) = 20及P(3) = 30，計算 [P(12) + P(-8)][10]　。

答 案：設Q(x) = P(x) - 10x，於是Q(1) = Q(2) = Q(3) = 0，由因式定理，得知Q(x)有因式(x - 1)(x - 2)(x - 3)。因為Q(x)是四次函數，故此Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - r)，其中r為常數，由此得知P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - r) + 10x。

之後計算題目要求的[P(12) + P(-8)][10]　，原本看來是有r在其中，但計出來時，剛好消去了，而答案是1984。

題目中解題的關鍵，在於構造了一個輔助函數Q(x)，然後使用因式定理，由函數的次數知道了它的形式，又剛巧代入特定數字時，連未知的部分也消去了，於是得出答案。

若是沒用上輔助函數，較平常的想法，就是先將1、2和3代入原本的P(x)之中，然後得出三道等式。這樣仍然有四個未知數a、b、c和d，方程的數目少於未知數的情況下，看來是未可以解出未知數。

也可能會想起，說不定把其中一些算式乘以數倍之後，三道算式相加減之中，會有些巧妙的效果，比如剛好加減出來，可以剛好是答案一部分那樣。只是這些構思，到底都是一些常見的嘗試方向而已，未必時刻可行的。

平常做數學題時，可以累積一些常用的想法，累積多了，做新題目時，想法就多了，能嘗試的時間也就多了。初學奧數時，見到學得久的前輩可以嘗試許久，其中一個原因，就是因為他們累積的想法比較多。

另外還有個原因是數學解難，就是有些好的想法，比如把問題用特殊例子來觀察，或者把問題改得普遍一點，諸如此類。數學解難有一本名著，叫作《怎樣解題？》，作者波利亞在奧數裏講解難訓練是很有名的。書中說了很多關於解難的線索，或者未有方法是可以怎樣嘗試之類的。當然這也不是什麼萬能鑰匙，懂了就可以解決很多困難那樣。

坊間的數學書有時也會講一些解難的方向，有些書是談數學家如何思考的，有些則是數學家參加過奧數比賽後談解難心得，例如菲爾茲獎得主陶哲軒教授，就有一本談數學解難的，英文版印刷比較精美，書名叫《Solving Mathematical Problems》。

解難經驗豐富一點之後才看這些書是最好的，因為過早看的話，就會覺得那些心得比較抽象，甚至覺得那些例題對自己來說還是過難。平常看書來說，自己比較有興趣的書，多數是內容上有自己曾經歷的東西，而經歷中有些疑問，剛好在書裏找到解決疑惑的線索，那才會懂得欣賞那本書，興趣也就來了。

看解難心得的書，需要有挺多思考經驗，否則看起來就會有空泛和艱澀的感覺，看着也只是想睡覺而已。●張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

●香港數學奧林匹克學校