這次談一道關於正多邊形的題目。

問 題:正2n邊形外接半徑為5的圓,由圓上任意一點,與該多邊形各頂點距離的平方,加起來是600。求n。

分 析:正2n邊形聽來挺抽象,先嘗試由正方形的情況了解一下題目的意思。如圖一,若果有正方形CDEF,頂點都在圓上,而圓上有一點G,跟各頂點距離的平方,加起來是600,那樣即是GC2 + GD2 + GE2 + GF2是600,這看來也未知是不是可行的。後來發現真的不是正方形的情況,以下是詳解。

答 案:在圖一中,會發現D和F是圓直徑的兩點來。普遍來說,由於是2n邊形,一個頂點在圓上,必有另一頂點使得兩點連起來是直徑。那麼2n邊形,就有n對直徑。

另外,如圖一所示,由於DF是直徑,而G是圓上一點,因此∠FGD = 90o。任意點G與D和F距離的平方和,由畢氏定理,得GD2 + GF2 = DF2,即是直徑的平方。

故此任意點G,到各頂點的平方和,就是n對直徑的平方加起來,算式就是n × 102 = 600,得n為6。

問題中的難點,在於一開始未用具體的多邊形來看時,未必想像到圓上任意點會連到直徑上的兩點,而且合起來時剛好是直角三角形。正多邊形、外接圓形的情況下,有許多對直徑不是必然的,要邊數剛好是雙數才行。題目當中,任意點到頂點的距離取平方,看來繞的彎挺多的,未想通前,好像條件都很任意,於是令人覺得複雜。

這題在奧數來說,算是入門到中階左右,有時一兩個巧妙的彎,令人一時間想不通,可能那點陌生感,就足夠令人卻步了,不一定是長篇的推論才會把人嚇怕。年輕時志向遠大一點是好事,至少能令自己涉獵各樣的知識,充實思想,在鍛煉中能了解自己強項和弱點。

只是志向遠大得來,也要量力而為,看清楚什麼層次的題目是自己有足夠的興趣和動力去挑戰。要是很早就去挑戰一些一小時多一題的題目,對自己來說可能太辛苦。現在網上資源多,也有網上書店,比較容易找到不同層次的競賽題目。

學數學的過程中,能找到自己有興趣做下去的題目,自得其樂,是好事來的。最怕是學到相當水平之後,表面有點成績,但日子苦得想放下來,那就挺可惜。

長遠來說,有些人的生活裏會需要多點數學,要懂一些難的,也有些人沒那麼大的需要,只需要懂一些淺的。學過奧數,見識過數學的另一些面貌,能夠延續這點興趣,令生活裏多一點健康的樂趣,對人生也有益處。

奧數作為一種生活的樂趣,有個好處,就是需要的數學知識基礎比較少。若是一些大學的數學書,一下子要掌握一套理論,功夫就多了,生活忙碌時,未必有這點精神和時間。●張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.

●香港數學奧林匹克學校 org。