這次談一道數字問題，做一點推廣，然後講一下解題表達的問題。
問 題：各數字都不是0的三位數之中，三個位加起來是23的數，有多少個？
答 案：先找三個數字的組合，然後才數一數各組合有多少個數。
由最大的數字數起，先由9字的開始，有{9,9,5}，{9,8,6}，{9,7,7}。
再看8字，有{8,8,7}。
當中，{9,9,5}排列起來有3個數，{9,8,6}有6個，{9,7,7}有3個，{8,8,7}有3個。
總共3 + 6 + 3 + 3 = 15個數。
解題過程中，先由組合開始，數最大的數字，然後再排列，當中每個組合能排出來的數都很少，所以只要次序分清了，就容易找到答案。這個問題也有些字眼可以說得再清楚一點，就是三位數表示出來時是用十進制，不然若是用九進制的，組合上就只有{8,8,7}一組，排列起來也只有3個。十進制這個字，沒說就好像假定了，說了又好像挺複雜，有些學生會難以理解，所以取捨之間，嚴格與否，是有點相對性。
要是改一改數字，變化可以很大，還可能有出乎意料的效果。比如問：「對於五位數來說，要是各個位都不是0，加起來是22，有多少個數？」這下子看來有夠複雜，列舉起來，即使是看組合，還是很多。
這個就要有辦法才去算。首先考慮五個正整數加起來是22的，共有多少個方法。各位可以想像成把22個球排成一列，用上4根棒，任意放在球與球之間的21個空隙，把球分成5堆，有多少個方法，也就是C21 = 5985。只是這樣有些數會大於9，不能作為五位數上其中一個位。
若要撇除這些大於9的數，也有方法。仔細留意，會發現五個數中只有一個可以大於9，因為若有兩個數大於9的話，那麼至少是10，即使其餘三個數都是1，由10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 23 > 22，會得知有矛盾，因此只有一個數會大於9。把這個大於9的數a，減去9之後，換成一個新的數b。把這個數b和其他原本的四個數一起，看看有多少個選取的方法，就知道要撇除多少個情況。由22 - 9 = 13，再看看有多少個選取的方式是5個正整數加起來等於13，就得到C12 = 495。由於五個數都可以大於9，因此答案為5985 - 495 × 5 = 3510。
剛剛這兩段，在解題時用了很多文字說明，算式反而很少，這裏也想順道談談表達的問題。平常來說，數學解題用算式較多，語句盡量精簡，沒多餘的字眼，數理和邏輯連結嚴密，是一種好的標準，這個是要在學數學時練出來的。
事實上，多用文字而少用算式的寫法是很少有的。那為什麼上邊不用算式呢？因為這是一個奧數入門的專欄，讀者未必是很熟習算式和符號，因此為了方便閱讀，就會多用文字而少用算式。
數學的算式，由於一個符號之間，可能有上標下標，而大楷小楷意思都不同，所以符號的意義非常密集，要放慢來讀。這當中需要很大的耐性，讀者若是想早日多看些數學，就要早點開始鍛煉了。●張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
●香港數學奧林匹克學校
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