【奧數揭秘】探索幾何問題

這次看的幾何題目，考驗如何在很少長度資料下，求一條線段的長度。當中有些構造輔助線的技巧，也挺有趣味。

問 題：如圖一，在梯形ABCD中，底角∠A = 54o，∠B = 36o，其中AB比CD長6個單位。 F和E分別為AB和CD的中點，求EF。

答 案：如圖二那樣，過C和D引平行於EF的直線，分別交AB於H和G。然後把△BCH平移，使CH和DG重合，C和D重合後記成C'，H和G重合後記成H'，變成了圖三。

那樣由於角A和B分別是54o和36o，那樣∠AC'B = 180o - 54o - 36o = 90o，剛好是直角，而H'也是圖三中AB的中點。

而圖三AB的長度，也就是圖二中AB的長度減去GH，亦即是減去DC，也就是原本圖一裏，AB比CD長的部分，就是6個單位。

留意到圖三裏，AB是6個單位，而∠AC'B為直角，H'為AB中點，則C'H'為AB的一半，即3個單位，因此原本的圖一中，EF亦是3個單位。

上邊題解的過程中，由資料中AB比CD長6個單位的資料，故意去作平行線，去構造出後來的AH'B，那樣6這個數字就可以直接使用了。角度的數字方面，角A和B的特別之處，就是加起來是90度，若是維持這個加起來是90度的條件，把角A和B換成其他數字，也是可以的。

看着圖三，也可以想想若角A和B維持加起來是90度的條件，變化起來，那樣圖三裏整個三角形的面積有沒有最大值，有的話是多少，那又會變成了是一道幾何極值的問題。

這些輕微改變一下題目條件來提出問題，增加探索空間的想法，可以加深對圖形的認識，處理幾何問題時就可以帶來更多趣味，而且由於問題是自己提出的，探索時有自己的好奇心參與在其中，比起別人問自己答，多了一分主動，思考起來動力大很多。這些問題問多了，提出問題的方法也會累積起來，那樣面對各樣的圖形，或者自己作的圖形時，都可以探索許久，從中得到許多經驗。

奧數題目有個特色，就是問題的形式多，於是若果去模仿別人提出問題的方法，已經很多可以學習的空間。要是只去做題，固然也可以，那樣解難能力也可以提升很多，但就少了一個重要角度的得着。單練解難有個問題，就是難的題目之後出現再相關情景的機會未必太多。複雜的情景和常見的情景是兩回事，因此只懂見着難題就去解的話，可能會解了一些應用價值比較低的偏題而不自知。若果只是培養興趣，那做多了也沒什麼，只是多個角度看問題，總是比較好。

學生學奧數，有提出問題的自覺與能力，再去讀課內數學時，就會發覺很多基礎問題，是直接的應用，或兩三個定理的綜合應用，當中許多問題，其實自己是能夠提出來的，即使沒去看練習部分，自己還是可以創作出一部分練習出來。這個比起單去順着習題做，就多了一個想法去歸納經驗，比較了解自己能懂得什麼類型的問題，自信也就容易建立點。●張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

●香港數學奧林匹克學校