【奧數揭秘】什麼數的5次是1？

這次談談一道關於方程的根的算式，當中若用上一些複數的知識，可能很快就有答案。

問 題：已知方程x5 = 1的其中一個根為r，而r≠1，計算(r - 1)(r2 - 1)(r3 - 1)(r4 - 1)。

答 案：留意到r是方程的根，即符合r5 = 1，移項後得(r- 1)(r4 + r3 + r2 + r + 1) = 0，而r≠1，會得出r符合r4 + r3 + r2 + r + 1 = 0。

直接展開會出現10次方，比較複雜，而且項數在未化簡前還有16個。若是把1次和4次配對，2次和3次配對，先乘起來，展開時有5次方，用上後，會簡單一點。因此考慮，

原式 = (r5 - r4 - r + 1)(r5 - r3 - r2 + 1) = (2 - r4 -r)(2 - r3 - r2)

這樣展開就可以了，當中要留意最大的次方為7，次方由大至小順序數起來，最低為常數項，要留意各項之間還可以化簡。簡言之，原式化為r7 + r6 - r4 - r3 - 2r2 - 2r + 4 = r2 + r - r4 - r3 - 2r2 - 2r + 4 = 4 - r - r2 - r3 - r4 = 5

解題過程中，主要就是留意到r能滿足原本的方程，然後看到分解之後，由於r不是1，所以有r4 + r3 + r2 + r + 1 = 0的算式。解題方向來說，都是在展開的，不管是較繁複地展開，還是有點簡化的技巧，只要過程中是正確的，都會得到答案是5。

在展開括號的過程中，能預見到之後會出現多少次方，出現什麼項、多少項，會比較好，那樣在展開數個括號時，可以選擇先做哪一些，會不會有機會使過程簡單一點。這一題中的方程x5 = 1，很明顯有個根是1，而r本身又不是1，那是什麼呢？再看它符合的算式r4 + r3 + r2 + r + 1 = 0，很明顯不是正數，否則左邊就已經大於0，若是負數就難說了。其實r是一個複數，就是包含虛數單位i，而i2 = -1的複數。

方程x5 = 1在複數的範圍內，會有5個根，形式上會是cos[2kπ][5]　 + i sin[2kπ][5]　，其中k = 0,1,2,3,4，當中三角函數內的單位是弧度。這個在複數上，是關於n次單位根的問題，即是求zn = 1時，z在複數的範圍內有多少個根。這些中學生聽來可能挺陌生，因為相關內容已在中學課程範圍以外，在從前的預科純數學之中是有的，奧數裏也會有。順帶一提，若果讀者懂了單位根相關的知識後，上題還有個簡單解法。

若果看着覺得好奇的話，也可以在網上找找相關的條目看看，有很多有趣的結果。比如看到複數裏，常數e的虛數次方，eiθ = cosθ + i sinθ，竟然跟三角函數有關係，另外又有一個知名的算式eiπ + 1 = 0，把數學裏重要的數e、i、π、1和0都連上關係，還真是優美。

以中學裏複數的課題來說，現在課程內有複數的算術訓練，從前的課程再多一點，但也未有把複數應用在幾何上的，而奧數裏就會把複數乘法，當成是一種複平面的旋轉，用來解決幾何問題。簡言之就是平面上把什麼東西都旋轉一番，也可以用上複數來思考。這麼幽深的數理，未學過相關數學，是想像不到的。

奧數的內容，相比課程來說，是有增潤的效果，例如課程在不同時代改變之下，有些課題會增減，或者難度減低了，但奧數裏仍會保留，並作出適當的延伸，令到能力較強的學生，可以在奧數裏學到相關的內容。這也是奧數的價值其中一面。●張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

●香港數學奧林匹克學校