這次談談一道關於三位數裏一些3的倍數的問題，加上了一些條件，數算起來，也有點精巧的心思。

問 題：計算有多少個三位正整數，是3的倍數，而當中每個數各位不同且非零。

答 案：由於要求數是3的倍數，按3的整除性，得知各數字之和是3的倍數，所以將各個位按除以3的餘數作分類，先找出可能的組合。例如餘數為{0,0,0}，則代表3、6和9的組合。類似的，有{1,1,1}，{2,2,2}和{0,1,2}。單計組合來說，餘數相同的3組，各只有1個情況，共3個情況。

而{0,1,2}的一組，由於餘數為0的有3個，即3、6和9，有3個選擇；餘數為1的有1、4和7，有3個選擇；餘數為2的有2、5和8，有3個選擇，這組因此有3 × 3 × 3 = 27個情況。

於是按組合來說，有3 + 27 = 30個。

而決定了組合之後，每個組合裏的數字，排列成三位數，可以排列出6個，比如147，可以排出174、417、471、714和741。

故此題目要求的數，共有30 × 6 = 180個。

解題過程中，先找到三個位能加起來是3的倍數時，有多少個組合，然後再仔細排列，就會得到答案。若果用列舉的方法，也會見到各同餘數的組合，比如{3,6,9}，{1,4,7}和{2,5,8}，只是當考慮到三個數字餘數各不相同時，情況就複雜了，這裏就看出，按餘數分類，考慮餘數為{0,1,2}，再用乘法討論，大幅化簡列舉的過程，表達上簡潔得多。先找到組合的數目，順理成章就會計算排列，故此計算組合時，按餘數作分類，實在是這一題的關鍵點。

這裏也不妨想想，題目裏各數字非零，對題目會產生什麼作用？這樣其實會簡化很多，先由餘數為{0,0,0}的情況討論。餘數是這樣的話，就可以選擇0、3、6和9，而0又不能是最左邊的百位，所以若果取{0,3,6}作一組，排列出來就只有4個數，故此先按組合來考慮，然後分排列時乘以6的想法，本身就是行不通的。要計算就要把這個{0,0,0}的情況，直下去計算排列，就已經有3 × 3 × 2 = 18個。

另外還有餘數為{0,1,2}的情況，當中餘數為0的情況，能選擇0、3、6和9，但0又不能是百位，於是又要分類，情況就複雜了許多。這裏就會看出，題目裏各數字非零，就能確保所選擇的數字1至9之中，選出來的，都能任意地做百位、十位或者個位，毋須看有沒有數字不能放在百位之類，實在令題目運算過程簡化很多。

這裏舉例的「數字非零與否」，其實加不加這個條件，都可以是一道題目，若是在教學過程中遇上比較強的學生，也可以設定少一些條件，令到題目難度高些。至於什麼是適切的難度，就要在教學過程互動之間才了解得清楚。奧數訓練除了是數學解難，還要使題目能令人有嘗試挑戰的動力，才會有較好的教學效果。由於有學生動力的考慮，所以就跟平常只陳述一些艱澀的難題有分別了。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。