【奧數揭秘】談談組合問題

這次介紹一道關於排列與組合的問題，雖然是競賽題，但平常學過課內組合數的讀者也可以嘗試一下，需要的知識基礎比較少。

解題過程中，首先無分次序先選取5個數成為組合，然後再仔細分各部分。先確定最小數C，然後知道C左邊也決定了C右邊，之後就得出那個排列數。知識基礎來說，都只是組合數與乘法原理，難點可能是找到252個組合之後，分析起來未夠清晰，覺得左右邊挺複雜，未必想到看一邊就可以這回事。

競賽裏的組合問題，在知識基礎上，跟課內的數學差不多，可以作為課內題目的延伸，不過當中的難度就可以有很多層次。

平常課程來說，考試題目難度高到誰也答不了的話，這道題也就少了對學生評級的功能，跟取消了沒分別，所以太難的題目也很難出現在試卷上。而奧數裏學生是來自各地的精英，題目難度就可以高很多。

奧數裏的組合問題，難在什麼地方呢？最基本的是很難全部列舉出來。事實上，一旦引入了乘法，就很難列舉。列舉通常都是在找規律時，列幾個出來，找共通點，然後就要用上加法乘法。

有時難題就是情況多，想不到分類的方法，很容易各個分類之間有重疊，加減之中，覺得越算越亂。

這當中易有遺漏與重複的情況，要避免這些，還得好好地表達，哪個是組合，哪個是排列，寫得仔細一點才行。比如上邊解題之中，就清楚說明了，哪部分是組合，哪部分是排列，字眼上也分得仔細。

組合問題在奧數裏，另一方面的難處是，它可以綜合其他課題，看起來很多變化，比如骰子上填色，特定條件下有多少種情況，是一種問法。或者是長方體上，在頂點中找三點作三角形，究竟有多少個銳角三方形，也是一種問法。或者是一些看來挺陌生的方程，問起有幾多個根之類。

這些組合問題，為什麼可以綜合那麼多課題？原因很簡單，就是在數學裏，每當想找一些條件下究竟有多少個情況時，就會問起組合問題。比如方程有幾個解，特定範圍內有多少個整數符合條件之類，很多這樣的問題。

因此組合問題，除了是一類問題，也是一個提出問題的方向。每當問起有幾多個情況，就是在問組合問題，所以變化總是層出不窮。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。