這次介紹一道關於排列與組合的問題,雖然是競賽題,但平常學過課內組合數的讀者也可以嘗試一下,需要的知識基礎比較少。

解題過程中,首先無分次序先選取5個數成為組合,然後再仔細分各部分。先確定最小數C,然後知道C左邊也決定了C右邊,之後就得出那個排列數。知識基礎來說,都只是組合數與乘法原理,難點可能是找到252個組合之後,分析起來未夠清晰,覺得左右邊挺複雜,未必想到看一邊就可以這回事。

競賽裏的組合問題,在知識基礎上,跟課內的數學差不多,可以作為課內題目的延伸,不過當中的難度就可以有很多層次。

平常課程來說,考試題目難度高到誰也答不了的話,這道題也就少了對學生評級的功能,跟取消了沒分別,所以太難的題目也很難出現在試卷上。而奧數裏學生是來自各地的精英,題目難度就可以高很多。

奧數裏的組合問題,難在什麼地方呢?最基本的是很難全部列舉出來。事實上,一旦引入了乘法,就很難列舉。列舉通常都是在找規律時,列幾個出來,找共通點,然後就要用上加法乘法。

有時難題就是情況多,想不到分類的方法,很容易各個分類之間有重疊,加減之中,覺得越算越亂。

這當中易有遺漏與重複的情況,要避免這些,還得好好地表達,哪個是組合,哪個是排列,寫得仔細一點才行。比如上邊解題之中,就清楚說明了,哪部分是組合,哪部分是排列,字眼上也分得仔細。

組合問題在奧數裏,另一方面的難處是,它可以綜合其他課題,看起來很多變化,比如骰子上填色,特定條件下有多少種情況,是一種問法。或者是長方體上,在頂點中找三點作三角形,究竟有多少個銳角三方形,也是一種問法。或者是一些看來挺陌生的方程,問起有幾多個根之類。

這些組合問題,為什麼可以綜合那麼多課題?原因很簡單,就是在數學裏,每當想找一些條件下究竟有多少個情況時,就會問起組合問題。比如方程有幾個解,特定範圍內有多少個整數符合條件之類,很多這樣的問題。

因此組合問題,除了是一類問題,也是一個提出問題的方向。每當問起有幾多個情況,就是在問組合問題,所以變化總是層出不窮。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。