【奧數揭秘】一道看來複雜的方程

這次嘗試解決一道看來挺複雜的方程，當中若果能夠有效地把一部分看成一組，會簡單很多。

解題過程中，關鍵是找到一個好的代換，看到若果把原式右方的整個部分，看作一個未知數，就可以用來表示出左方的項。原本的算式裏，指數和三角函數都是複雜的，移項中要化簡也有困難，在代換後大幅化簡，而且得出的二次方程，亦是常見的恒等式的形式，這個也是有點意外的。

代換的形式，有些初看時比較易看到，比如見到右方的項有2cosθ，左方有22cosθ，就可能會嘗試代y = 2cosθ，那樣至少指數和三角函數都處理好了，只是做下去就會發現，那些係數是2的分數次方，運算上不太直觀。當然，推論下去還是可以做到的。

遇着這些問題，就想到做代換不難，但始終代換的方式是自己定的，如何找到一個夠簡單的，可能要試幾次才做得到。不過以這題來說，還算是有點線索的，主要是留意到右方的指數上有[1]　[4]，若果取平方，會變成[1]　[2]，會跟左方指數的-[3]　[2]同分母，而且相差是整數，那樣看來係數就會簡潔一點，至少是有個整數次方。

說看起來會有點線索，但看不到、繞了彎，其實也沒什麼大問題，始終是嘗試階段，很難說解題時就能預知答案那樣找到最快方法。老師能找到快方法，除了因為老師經驗較多，也可能是因為老師試過許多方法，繞過許多彎後，才把最短的方法介紹給學生，所以看來方法才那麼快。

學生有時會把繞彎當成自己笨了，看得有點負面，其實再聰明的人做數學題時也會繞彎。只是繞彎多了，路就比較熟，日子久了，要走到哪裏都比較快。這並不是安慰說話。

也有時會算錯一部分，其實只需要明確寫出來，反覆檢查幾次，就容易找到相關的失誤，找到了，就不需要有太大反應，改了就可以了，及早察覺錯誤，改得快也是一種能力良好的表現。有些日子狀態差一點，失誤就比較多，那樣寫得明白點，檢查多幾次，總可以改正多幾個失誤的。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。