這次嘗試解決一道看來挺複雜的方程,當中若果能夠有效地把一部分看成一組,會簡單很多。

解題過程中,關鍵是找到一個好的代換,看到若果把原式右方的整個部分,看作一個未知數,就可以用來表示出左方的項。原本的算式裏,指數和三角函數都是複雜的,移項中要化簡也有困難,在代換後大幅化簡,而且得出的二次方程,亦是常見的恒等式的形式,這個也是有點意外的。

代換的形式,有些初看時比較易看到,比如見到右方的項有2cosθ,左方有22cosθ,就可能會嘗試代y = 2cosθ,那樣至少指數和三角函數都處理好了,只是做下去就會發現,那些係數是2的分數次方,運算上不太直觀。當然,推論下去還是可以做到的。

遇着這些問題,就想到做代換不難,但始終代換的方式是自己定的,如何找到一個夠簡單的,可能要試幾次才做得到。不過以這題來說,還算是有點線索的,主要是留意到右方的指數上有[1] [4],若果取平方,會變成[1] [2],會跟左方指數的-[3] [2]同分母,而且相差是整數,那樣看來係數就會簡潔一點,至少是有個整數次方。

說看起來會有點線索,但看不到、繞了彎,其實也沒什麼大問題,始終是嘗試階段,很難說解題時就能預知答案那樣找到最快方法。老師能找到快方法,除了因為老師經驗較多,也可能是因為老師試過許多方法,繞過許多彎後,才把最短的方法介紹給學生,所以看來方法才那麼快。

學生有時會把繞彎當成自己笨了,看得有點負面,其實再聰明的人做數學題時也會繞彎。只是繞彎多了,路就比較熟,日子久了,要走到哪裏都比較快。這並不是安慰說話。

也有時會算錯一部分,其實只需要明確寫出來,反覆檢查幾次,就容易找到相關的失誤,找到了,就不需要有太大反應,改了就可以了,及早察覺錯誤,改得快也是一種能力良好的表現。有些日子狀態差一點,失誤就比較多,那樣寫得明白點,檢查多幾次,總可以改正多幾個失誤的。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。