這次談談整除性特質的來源,文章中的整除符號,用上了2|6的寫法,代表6能被2整除。
解題過程中,用上了8的整除性,然後留意到右邊三個位化成算式後,其中一部分是8的倍數,餘下部分剛好是題目中的算式(4a2 + 2a1 + a0)。若8能夠整除這算式,則8能整除原本的整數N。
談起這個8的整除性,小學時可能只是知道有這回事,但未必完全明白為什麼這樣。舉例來說,比如五位數12344,可以寫成12 × 1000 + 344,千位或以上的部分,即算式中的12,會乘上1000,而1000是8的倍數,因此原數能否被8整除,只需要留意右邊三個位,即344能否被8整除就可以了。
這點整除性的等質,8和4是類似的,4就是留意整數右邊兩個位的情況,比如3456,就是看看右邊的56能否被4的整除。在剛才討論的題目來看,若果討論的不是8,而是4,也會有類似的性質。條件會跟原數N的十位與個位有關,即a1a0有關,而跟百位a2無關。仔細點來說,就是a1a0 = 10a1 + a0 = 4(2a1) + (2a1 + a0),因此若4|(2a1 + a0),就有4|N。
進一步來說,若果覺得8和4都比較基本,也可以想想16的情況,那個條件是留意8a3 + 4a2 + a1a0。
關於整除性來說,以上討論8、4和16之中,或者小學時談到3、6和9,大致的想法都是用了同餘算術。即是說,就像所討論的題目中,原數N和(4a2 + 2a1 + a0)除以8的餘數相同,用這個來考慮整除性。
有些較複雜的情況,好像談起7的整除性,有個想法是這樣的︰以623為例子,把個位的3拿出來乘以2得6,然後把十位及左方的62,減去6,得62 - 6 = 56,是7的倍數,由此得知原數是7的倍數。這個先截出個位,再用左方的數減去個位乘以2的想法,可以反覆使用,直至數字細到容易判斷為止。
這個7的整除性的判斷方法,基本上也是同餘算術,若原數把十位或以上的記為a,個位為b,則原數就是10a + b,而經處理後的數,就是a - 2b,兩數看來除以7也是不同餘數的,不過隱藏着一個關係,就是2(10a + b) + (a - 2b) = 21a。這道算式中會留意到,若果7能整除a - 2b,由於21a是7的倍數,2(10a + b)都是7的倍數,故此(10a + b)也是7的倍數。
上邊的敘述,用上文字時挺繁複,要是用同餘的符號就簡潔多了,而且用上了相關的同餘算術時,能發現的各樣整除特徵也非常豐富。比如留意到2(10a + b) + (a + 5b) = 7(3a + b),就會知道把十位或以上的數,加上乘以5後的個位,反覆計算也能判斷7的整除性。●張志基
●香港數學奧林匹克學校
簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。
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