【奧數揭秘】整除性與同餘算術

這次談談整除性特質的來源，文章中的整除符號，用上了2|6的寫法，代表6能被2整除。

解題過程中，用上了8的整除性，然後留意到右邊三個位化成算式後，其中一部分是8的倍數，餘下部分剛好是題目中的算式(4a2 + 2a1 + a0)。若8能夠整除這算式，則8能整除原本的整數N。

談起這個8的整除性，小學時可能只是知道有這回事，但未必完全明白為什麼這樣。舉例來說，比如五位數12344，可以寫成12 × 1000 + 344，千位或以上的部分，即算式中的12，會乘上1000，而1000是8的倍數，因此原數能否被8整除，只需要留意右邊三個位，即344能否被8整除就可以了。

這點整除性的等質，8和4是類似的，4就是留意整數右邊兩個位的情況，比如3456，就是看看右邊的56能否被4的整除。在剛才討論的題目來看，若果討論的不是8，而是4，也會有類似的性質。條件會跟原數N的十位與個位有關，即a1a0有關，而跟百位a2無關。仔細點來說，就是a1a0 = 10a1 + a0 = 4(2a1) + (2a1 + a0)，因此若4|(2a1 + a0)，就有4|N。

進一步來說，若果覺得8和4都比較基本，也可以想想16的情況，那個條件是留意8a3 + 4a2 + a1a0。

關於整除性來說，以上討論8、4和16之中，或者小學時談到3、6和9，大致的想法都是用了同餘算術。即是說，就像所討論的題目中，原數N和(4a2 + 2a1 + a0)除以8的餘數相同，用這個來考慮整除性。

有些較複雜的情況，好像談起7的整除性，有個想法是這樣的︰以623為例子，把個位的3拿出來乘以2得6，然後把十位及左方的62，減去6，得62 - 6 = 56，是7的倍數，由此得知原數是7的倍數。這個先截出個位，再用左方的數減去個位乘以2的想法，可以反覆使用，直至數字細到容易判斷為止。

這個7的整除性的判斷方法，基本上也是同餘算術，若原數把十位或以上的記為a，個位為b，則原數就是10a + b，而經處理後的數，就是a - 2b，兩數看來除以7也是不同餘數的，不過隱藏着一個關係，就是2(10a + b) + (a - 2b) = 21a。這道算式中會留意到，若果7能整除a - 2b，由於21a是7的倍數，2(10a + b)都是7的倍數，故此(10a + b)也是7的倍數。

上邊的敘述，用上文字時挺繁複，要是用同餘的符號就簡潔多了，而且用上了相關的同餘算術時，能發現的各樣整除特徵也非常豐富。比如留意到2(10a + b) + (a + 5b) = 7(3a + b)，就會知道把十位或以上的數，加上乘以5後的個位，反覆計算也能判斷7的整除性。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。