這次的問題，要留意數字有什麼特別，加點聯想力，才比較容易解決。
問 題：整數999039是四個質數之積，求當中最大的質數。
答 案：留意到
999039 = 1000000 - 961 = 10002 - 312 = (1000 + 31)(1000 - 31) = 1031 × 969。
其中969 = 3 × 17 × 19，因此最大質數為1031。
解題過程中，先要留意原本的數跟一百萬很接近，然後計算到相差後，又能聯想起961是31的平方，之後用上了平方差的恒等式作分解，分解969時，發現了3個質因數，而題目裡說質因數有4個，因此其餘的一個必是1031。
其實，比較嚴謹的做法是再檢查一下1031是否質數。題解裡的做法是假設了題目沒有出錯，才確定了1031是質數。判斷1031是否質數，可以用一些較小的質數試一下，看看能否整除它，由2，3，5，7，…開始，試到31就可以了。
關於質數判斷的問題，在中小學階段，基本上就要有整除性的知識，比如2，3，5和11的整除性，那樣能快速篩選了一些非質數出來。7的整除性固然也是有的，網上也會找到不少方法，只是想法多是有點煩瑣，所以比較少提及。除了整除性的知識，還要知道大概檢查到哪個數可以停下來。例如對於正整數n來說，只需要檢查到[n] 或以前的質數就可以了。
至於為什麼是[n] ，要理解也挺容易的，比如考慮n為16，那麼找因數時，可以把16分解為：16 = 1 × 16 = 2 × 8 = 4 × 4
觀察乘式左方的數字，1、2和4由小至大排列，右方16、8和4，由大至小排列，而底部剛好就是[16] = 4。那麼找因數時，關鍵是只需要找乘式左方數字裡的質數就可以了，即使n本身不是平方數也可以這樣。這個想法，其實小學時也可能不自覺用過，比如找因數時，見着是16，就找些質數去除，比如試2、3和5，除到5時，商是3，有餘數，發覺除數比商大，那就停下來，當中也是隱含了類似的想法。
這些質數判定的問題歷史悠久，數論裡會有些用上了同餘算術的篩法，能夠把一些質數篩選出來。奧數裡有費馬小定理，也可以判斷什麼不是質數。費馬小定理說的是若p為質數，則對於任意正整數a，p能整除ap - a。這裡省去了一些數論裡常用的同餘符號，希望比較易明。舉例來說，3為質數，就有23 - 2 = 6 = 3 × 2。要是想測試一個正整數p是否質數，可以挑選一個正整數a和這個p，算一算ap - a能否被p整除，若果不行，就知道p不是質數。這些運算過程，若懂同餘算術會做得比較簡單，奧數裡會有相關訓練，課內則沒有。
質數判定這個問題，若是想學得深入一點，難免都要學多些數論，中學生能夠學懂一些初等數論，做到相當多的練習，已經挺難得，但那些還只是基礎而已。有興趣的同學，可以找些初等數論看着試一試，看看能否理解。●張志基
●香港數學奧林匹克學校
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
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