這次分享一道關於分拆分式的題目，再談談一個稱為部分分式的技巧。
問 題：設[2x][(x + 4)(x - 3)] ≡ [A][x + 4] + [B][x - 3] ，求A和B的值。
答 案：考慮等號兩方同時乘以(x + 4)(x - 3)，得2x ≡ A(x - 3) + B(x + 4)。
設x = 3，得B = [6][7] 。
設x = -4，得A = [8][7] 。
解題中把分母的部分消去了，然後用恒等式能隨意代入數字的特性，求得A和B，都屬課內恒等式部分的技巧。
大致而言，題目裡把一個分式的分母因式分解後，將分式寫成幾個分式之和，而且各分式是原分式分母各個因式的過程，稱為部分分式。這當中要仔細說明一下。比如[4x4 + 2x2 - x - 2][x2 (x - 1)(x2 + x + 1)] ，就可以寫成[1][x] + [x2][2] + [x - 1][1] + [2x - 1][x2 + x + 1] ，當中各分式的分子次數小於分母，同樣分母是x的次方，則x和x2項的分子次數都小於x。較普遍來說，要是原分母當中有些高次方的項，例如原分母中不是x2而是x4的話，則化出來的分式之和，會有[x][a] + [x2][b] + [x3][c] +[x4][d] 的部分，即是要求含高次方的項，要化成較低的各次方的項之和。整體而言，就是把一個分子分母較高次方的分式，化成較分子分母較低次方分式的過程。
這個部分分式的過程，其實是把分式相加的過程反轉過來，把一個分式按着分母的因式分拆的過程。就過程中的技巧而言，其實都可以用到剛才那一題裡，消去分母，然後代數字的技巧，或用上比較系數法，都可行。就功用上來說，初中階段只是見識一下其中一種分式的恒等變換，在高中學習延伸課程中微積分時就非常有用。不過，奧數普遍不涉及微積分，所以就只作為一個恒等變換去看。
仔細留意一下分解的過程，觀察一下分子分母的系數，發覺都是整數，於是在分母分解之後，因式的系數都是實數，而且基本的形式都是一次或兩次的多項式及其數次方。若是允許複數，則分解的形式有分別，得出部分分式的結果也有分別。
部分分式的想法，在配合一些較強的數學工具之後，效果會比較明顯。不過在初中階段，由於較複雜的分式運算未算太多，所以呈現出來的有限。奧數裡也有些常見的題目會用上這想法，比如化簡[x(x - 1)][1] + [(x + 1)(x + 2)][1] ，就可以分拆後，得出[1][x] - [x + 1][1] + [x + 1][1] - [x + 2][1] = [1][x] - [x + 2][1] 。這些問題之所以常見，大概也是想引入部分分式的想法的。
奧數其實是想把一些較深入的數學知識和技巧介紹給中小學生的過程。有些技巧要求較高，或要有其他數學知識的，就只抽出一部分，化成一些可以在應用後大幅化簡算式的題目。 ●張志基
簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。
●香港數學奧林匹克學校
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