這次談談一道極值的問題，也談坐標變換的事情。

問題：已知x2 + xy + y2 = 19，求u = x2 + y2的最大值。

答案：設x = a cosθ，y = a sinθ，則u = a2。

根據條件，得a2cos2θ + a2sinθcosθ + a2sin2θ = 19

a2 (1 + [1][2]　 sin 2θ) = 19

若sin2θ為最小，即-1，則a2為最大，得u最大為a2 = 19 × 2 = 38。

解題中最關鍵的步驟，在於對未知數做了變換，把原本的x和y換成了a cosθ和a sinθ。這樣的變換，對於u = x2 + y2的形式，由於有sin2θ + cos2θ = 1的等式，所以會化簡為u = a2。當中在三角函數的變化上，也用上了二倍角公式，sin2θ = 2sinθcosθ，這是高中延伸部分的內容。

在變換的過程中，原本的算式裡也有x2 + y2的部分，於是化簡後再用上二倍角公式，未知數除了a以外，就只餘下一個三角函數sin2θ，然後在算式裡，單獨觀察一個三角函數的變化，就容易知道最大最小值是什麼。

在變換的過程中，算式可以大幅化簡，固然是題目的設計有點特殊，然而變量的代換，卻是普遍的思路。題目中的代換方式，將x和y分別化為a cosθ和a sinθ，也是常見的代換方式，原因是在平面上，任意一點P坐標是(x , y)的話，而與原點的距離為a，由x軸逆時針掃過OP的角為θ，則x和y分別為a cosθ和a sinθ。（見圖一）這個變換其實就是坐標變換，把平常用的笛卡兒坐標，變成極坐標的過程。

由於變換坐標是一個普遍可行的過程，所以平常有x和y的算式，只要是描述兩個未知數的關係，都可以換上極坐標去考慮。算式在表達上可以有分別，例如在計算過程中，可以用上三角函數的法則，從而得到算式的一些隱藏資訊，比如最大最小值之類。

在課程內解坐標幾何的題目，多數會有個固定的坐標去擬定題目，但若是解一道幾何題又沒有坐標時，嘗試引入坐標，想法就自由多了。坐標可以是笛卡兒坐標，也可以是極坐標，而且哪個方向是x軸也是任意的，還有長度多少才算是一個單位，也可任意設定。每個不同的坐標設定，推導出來的算式，形式會大有分別，幾何的關係卻一致，所以若能找到簡單的形式去表達各個變量的關係時，推論過程會變得簡潔而有效率。

只要有了坐標變換的思路，就明白代數式本身的形式是沒固定的，只需要找到一些代換的方式，前後能互換的，形式就可以有大幅變化。看來是二次的，也可變成三角函數，喜歡的話，也可以變成對數指數之類，只要能方便計算，就可以自行變換。

這些坐標變換的概念，聽來好像挺數學化的，跟生活沒什麼關係，其實這些才是生活裡每天都接觸到的事情。平常自己看着四周，也會想知道面前的東西距離自己多遠，算是在什麼方向。

這個距離多遠，就是上方提到極坐標裡的a，而方向這回事，若果以右手的方向為極軸，則逆時針掃到該事物的角度為θ。

在生活裡看着四周的事物，總是要判斷距離、角度、速度之類的事情，這些若果用坐標去講明一些事情的位置的話，當中有許多方程和函數在當中。這些聽來抽象的數學，其實是隱藏在生活中的。●張志基

●香港數學奧林匹克學校

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。