【奧數揭秘】圓內接四邊形

這次分享一道關於圓內接四邊形的問題。

問 題：右圖中，圓內接四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA之長分別為1、8、4和7，求AC的長度。

答 案：由圓內接四邊形的特性，留意到∠B和∠D相加是180o，對於△ABC和△ADC，考慮餘弦定理，得知12 + 82 - 2．1．8 cos ∠B = AC2 = 42 + 72 - 2．4．7 cos ∠D

因為cos ∠D = cos(180o - ∠B) = -cos ∠B

由上式得知65 - 16 cos∠B= 65 + 56 cos ∠B

cos∠B = 0

故此AC = [65]　。

解題過程中，用到了餘弦定理、圓內接四邊形的特性與一些三角學。由cos∠B為0，得知∠B為直角，也就是AC亦是圓的直徑。這個直角的情況挺特殊的，若果剛才考慮的是BD而不是AC，即使仍然可以用餘弦定理，也得不出∠A或∠C是直角的情況，不過仍然可以計出cos∠A的數值，代回去餘弦定理那條公式，仍可求出BD。

改一改數字的話，就會明白對角線都不是直徑才是普遍情況，那麼普遍來說，怎樣求直徑才好呢？這個可以考慮正弦定理，就是三角形內，有[a][sin A]　 = [b][sin B]　 = [c][sin C]　 = 2R。學生普遍都會記得，每邊的長度和對角正弦值的比是固定的數，但容易忽略了這個數是外接圓的直徑。找直徑的過程中出了餘弦值，就能換算出相應的正弦值。

比如運用剛才的題目，用BD來討論一下較普遍的情況。應用餘弦定理，會得到cos∠A = -[13][5]　，相應的正弦值就是sin∠A = [13][12]　，BD則是[13][12[65]　]　，得[sin∠A][BD]　 = [65]　，數值當然跟直徑AC的值是一樣。這想法用於對角線都不是直徑的時候。

在普遍的情況裏，若圓內接四邊形的各邊都用了代數，從中想求出對角線和直徑普遍的公式，這是可行的，但做出來的結果可能相當繁複。始終結果做出來之後，記不住還是會很難用。追求較普遍的結果是一回事，但結果是不是好用，還是要顧及到的。題目裏的情景，探索到什麼地步，推廣到多普遍，或者限制到多特殊，當中不是愈普遍就愈有用的。

從這次的題目來說，知道若圓內接四邊形的四邊都知道了，就會知道對角線的長度，方法是通過餘弦定理，再由正弦定理得知圓的半徑，領會得到這些就很足夠，如果太細緻地追求公式，反而變得繁瑣。

這些事理是有不同層次的，有些具體得像一條定理，有些抽象一點，是一個策略，有些是一個情景，不能一概而論。在平常的學習之中，一步一步嘗試去評鑑和判斷各個命題與策略，日子久了，就看得出什麼是較有用的想法。培養的方法，就是在解題之後作反省，漸漸由反省方法好不好，到會問好在哪裏，又問起好壞的標準怎樣，愈問愈仔細，就會愈明白自己原有的想法，從而作出改善。●張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

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