【奧數揭秘】三角形的垂心

這次分享一道關於直角三角形的問題。

問題：直角三角形ABC的斜邊AB上向形外作中心為O的正方形。證明：CO是直角C的平分線。

答案：如圖一，留意OAB是等腰直角三角形，∠AOB + ∠ACB = 180o，因此OACB是圓內接四邊形。故此，由同弓形內圓周角相等，得知∠ACO = ∠ABO = ∠OAB = ∠OCB，即CO平分直角C。

題解中主要是留意到四點共圓的部分，以及OAB是等腰三角形，就完成了。四點共圓和同弓形內圓周角相等，課程內都是高中的課題，奧數裏初中就會接觸到。這題作為較初級的綜合訓練是不錯的，題目並非常見題型，又在四邊形之中，要自行察覺到有圓內接四邊形，由無圓形的圖形之中聯想到有圓形，有開闊思路的作用。

另外，這題的情景也挺普遍，就只是一個直角三角形而已，原來斜邊上作個正方形出來，就有這樣的特性，感覺是在平常的情景之中多了一點小發現。在一些平常的圖形裏，看通多一點點，日子久了，一眼看到圖形就可以看通多幾個關係，腦海就不至於會一片空白，老是覺得無從入手了。

比如四邊形對角都是直角，就是圓內接四邊形，這情景挺常見，好像圖二中，三角形有條高在D、E和F這些垂足上，都有直角，很易看出，BDHF、CDHE和AFHE都是圓內接四邊形，又可以由同弓形內的圓周角的逆定理得知，BCEF、CDFA和EABD都是圓內接四邊形。這些由小學計算三角形面積時起，把三角形的高畫過許多次，也未必會發現到這些。

這個圖二再推論得遠一點，有些還比較隱藏的，就是由同弓形內圓周角相等，可知∠HDF = ∠HBF = ∠ECH = ∠EDH，也就是HD會平分∠EDF，同理，HE也平分∠DEF，HF亦平分∠EFD，故此H對於△DEF來說，是角平分線的交點，即是內心。

知道了這些，平常看三角形，畫上了高的時候，或者見到有直角的時候，也容易多點聯想起這些圓內接四邊形的事情。做幾何題的時候，經驗累積往往就在於有沒有發現一些常見的情景，令自己聯想出關係。這些小工具累積多了，線與角的關係就理解得通透一點，見到的資訊多了，也容易有較深入的洞察，或者是解難上找到方法，或者是閒時找到新發現，都能夠加深自己對幾何形狀的認識。

閒着在做數學題時，意志力多一點就可以解些難一點的，如果只想輕鬆點就找些易掌握一點的來做。長遠有用的想法，未必一定是在較難的題目裏才發現得到，有時難的也可能是偏的，情景極少出現，反而未必像一些較淺白而廣泛的結果那麼有用。●張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。

●香港數學奧林匹克學校