這次分享一道關於直角三角形的問題。

問題:直角三角形ABC的斜邊AB上向形外作中心為O的正方形。證明:CO是直角C的平分線。

答案:如圖一,留意OAB是等腰直角三角形,∠AOB + ∠ACB = 180o,因此OACB是圓內接四邊形。故此,由同弓形內圓周角相等,得知∠ACO = ∠ABO = ∠OAB = ∠OCB,即CO平分直角C。

題解中主要是留意到四點共圓的部分,以及OAB是等腰三角形,就完成了。四點共圓和同弓形內圓周角相等,課程內都是高中的課題,奧數裏初中就會接觸到。這題作為較初級的綜合訓練是不錯的,題目並非常見題型,又在四邊形之中,要自行察覺到有圓內接四邊形,由無圓形的圖形之中聯想到有圓形,有開闊思路的作用。

另外,這題的情景也挺普遍,就只是一個直角三角形而已,原來斜邊上作個正方形出來,就有這樣的特性,感覺是在平常的情景之中多了一點小發現。在一些平常的圖形裏,看通多一點點,日子久了,一眼看到圖形就可以看通多幾個關係,腦海就不至於會一片空白,老是覺得無從入手了。

比如四邊形對角都是直角,就是圓內接四邊形,這情景挺常見,好像圖二中,三角形有條高在D、E和F這些垂足上,都有直角,很易看出,BDHF、CDHE和AFHE都是圓內接四邊形,又可以由同弓形內的圓周角的逆定理得知,BCEF、CDFA和EABD都是圓內接四邊形。這些由小學計算三角形面積時起,把三角形的高畫過許多次,也未必會發現到這些。

這個圖二再推論得遠一點,有些還比較隱藏的,就是由同弓形內圓周角相等,可知∠HDF = ∠HBF = ∠ECH = ∠EDH,也就是HD會平分∠EDF,同理,HE也平分∠DEF,HF亦平分∠EFD,故此H對於△DEF來說,是角平分線的交點,即是內心。

知道了這些,平常看三角形,畫上了高的時候,或者見到有直角的時候,也容易多點聯想起這些圓內接四邊形的事情。做幾何題的時候,經驗累積往往就在於有沒有發現一些常見的情景,令自己聯想出關係。這些小工具累積多了,線與角的關係就理解得通透一點,見到的資訊多了,也容易有較深入的洞察,或者是解難上找到方法,或者是閒時找到新發現,都能夠加深自己對幾何形狀的認識。

閒着在做數學題時,意志力多一點就可以解些難一點的,如果只想輕鬆點就找些易掌握一點的來做。長遠有用的想法,未必一定是在較難的題目裏才發現得到,有時難的也可能是偏的,情景極少出現,反而未必像一些較淺白而廣泛的結果那麼有用。●張志基

簡介:奧校於1995年成立,為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號:91/4924),每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」,旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊,獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽:www.hkmos.org。

●香港數學奧林匹克學校